الفصل التاسع الهندسة الزوايا والمضلعات رياضيات

ما هي الزاوية؟ الزاوية هي شكل يتكون من شعاعين (نصفي مستقيمين) يتشاركان في نقطة البداية تسمى رأس الزاوية.

أنواع الزوايا حسب القياس:

• الزاوية الحادة (Acute Angle): قياسها أكبر من 0° وأقل من 90°.
• الزاوية القائمة (Right Angle): قياسها يساوي 90°. يُرمز لها برمز المربع الصغير داخل الزاوية.
• الزاوية المنفرجة (Obtuse Angle): قياسها أكبر من 90° وأقل من 180°.
• الزاوية المستقيمة (Straight Angle): قياسها يساوي 180° (تشكل خطاً مستقيماً).
• الزاوية الكاملة (Full Angle): قياسها 360° (دورة كاملة).

أمثلة توضيحية:

• زاوية 30°: حادة
• زاوية 45°: حادة
• زاوية 90°: قائمة
• زاوية 120°: منفرجة
• زاوية 180°: مستقيمة

تمرين (تأكد وتدرب - تصنيف الزوايا):

1. زاوية قياسها 35° هي زاوية ______.
2. زاوية قياسها 90° هي زاوية ______.
3. زاوية قياسها 150° هي زاوية ______.
4. زاوية قياسها 180° هي زاوية ______.
5. زاوية قياسها 10° هي زاوية ______.
6. زاوية قياسها 100° هي زاوية ______.

الإجابة: حادة / قائمة / منفرجة / مستقيمة / حادة / منفرجة

تمرين (المنقلة - قياس الزوايا): استخدم المنقلة لقياس الزوايا التالية:

1. قم برسم زاوية حادة باستخدام المسطرة والمنقلة واكتب قياسها.
2. قم برسم زاوية قائمة وحدد رمز الزاوية القائمة (المربع الصغير).
3. قم برسم زاوية منفرجة واكتب قياسها.

أدوات رسم الزوايا: المسطرة والمنقلة والقلم الرصاص.

خطوات رسم زاوية بقياس معين (مثال: 60°):

1. نرسم ضلعاً مستقيماً (شعاع أفقي) نحدد منه نقطة البداية.
2. نضع مركز المنقلة على رأس الزاوية، ونتأكد من تطابق خط الصفر مع الضلع المرسوم.
3. نحدد إشارة عند الدرجة المطلوبة (60°) على حافة المنقلة.
4. نرفع المنقلة ونرسم ضلعاً آخر من رأس الزاوية إلى العلامة التي حددناها.
5. نكتب قياس الزاوية.

تمرين (رسم الزوايا): باستخدام المسطرة والمنقلة، ارسم الزوايا التالية:

1. زاوية قياسها 30° (حادة)
2. زاوية قياسها 90° (قائمة)
3. زاوية قياسها 135° (منفرجة)
4. زاوية قياسها 45° (حادة)

ما هو المضلع؟ هو شكل مسطح مغلق يتكون من 3 أضلاع أو أكثر، جميع أضلاعه مستقيمة.

تصنيف المضلعات حسب عدد الأضلاع:

عدد الأضلاع	اسم المضلع	عدد الرؤوس	عدد الأقطار
3	مثلث (Triangle)	3	0
4	رباعي (Quadrilateral)	4	2
5	خماسي (Pentagon)	5	5
6	سداسي (Hexagon)	6	9
8	ثماني (Octagon)	8	20

المضلع المنتظم (Regular Polygon): جميع أضلاعه متساوية في الطول وجميع زواياه متساوية في القياس.

المضلع غير المنتظم (Irregular Polygon): أضلاعه غير متساوية أو زواياه غير متساوية (أو كلاهما).

تمرين (تأكد وتدرب - تصنيف المضلعات):

1. ما اسم المضلع الذي له 5 أضلاع؟ ______
2. ما اسم المضلع الذي له 6 رؤوس؟ ______
3. المضلع المنتظم له أضلاع ______ وزوايا ______.
4. قارن بين المربع والمستطيل من حيث كونهما مضلعين منتظمين أم غير منتظمين.

الإجابة: خماسي / سداسي / متساوية / متساوية / المربع منتظم، المستطيل غير منتظم (لأن أضلاعه غير متساوية).

ما هي الزوايا الداخلية؟ هي الزوايا المحصورة داخل المضلع بين كل ضلعين متجاورين.

قانون حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع:

مجموع الزوايا الداخلية = (ن - 2) × 180°

حيث (ن) = عدد أضلاع المضلع.

أمثلة على حساب مجموع الزوايا الداخلية:

• المثلث (ن = 3): (3 - 2) × 180° = 1 × 180° = 180°
• الرباعي (ن = 4): (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360°
• الخماسي (ن = 5): (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°
• السداسي (ن = 6): (6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720°

تمرين (تأكد وتدرب - حساب مجموع الزوايا الداخلية):

1. ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث؟ ______
2. ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للرباعي؟ ______
3. ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للثماني (8 أضلاع)؟ ______
4. إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع 900°، فما عدد أضلاعه؟ (حل المعادلة: (ن-2) × 180 = 900 → ن-2 = 5 → ن = 7 أضلاع)

الإجابة: 180° / 360° / 1080° / 7 أضلاع

في المضلع المنتظم: جميع الزوايا الداخلية متساوية.

قانون حساب قياس الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم:

قياس الزاوية الداخلية = [(ن - 2) × 180°] ÷ ن

أو: قياس الزاوية الداخلية = 180° - (360° ÷ ن)

حيث (ن) = عدد أضلاع المضلع.

أمثلة على حساب قياس الزاوية الداخلية للمضلعات المنتظمة:

• مثلث منتظم (متساوي الأضلاع): [(3-2) × 180] ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60°
• مربع منتظم: [(4-2) × 180] ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90°
• خماسي منتظم: [(5-2) × 180] ÷ 5 = 540 ÷ 5 = 108°
• سداسي منتظم: [(6-2) × 180] ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120°
• ثماني منتظم: [(8-2) × 180] ÷ 8 = 1080 ÷ 8 = 135°

تمرين (تأكد وتدرب - الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم):

1. ما قياس الزاوية الداخلية للمربع؟ ______
2. ما قياس الزاوية الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع؟ ______
3. ما قياس الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم؟ ______
4. إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم 140°، فما عدد أضلاعه؟ (حل المعادلة: [(ن-2) × 180] ÷ ن = 140 → 180ن - 360 = 140ن → 40ن = 360 → ن = 9 أضلاع)

الإجابة: 90° / 60° / 108° / 9 أضلاع (تساعي منتظم)

ما هو القطر؟ هو قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متجاورين في المضلع.

قانون حساب عدد الأقطار في المضلع:

عدد الأقطار = ن × (ن - 3) ÷ 2

حيث (ن) = عدد أضلاع المضلع.

أمثلة على حساب عدد الأقطار:

• المثلث (ن = 3): 3 × (3-3) ÷ 2 = 3 × 0 ÷ 2 = 0 أقطار
• الرباعي (ن = 4): 4 × (4-3) ÷ 2 = 4 × 1 ÷ 2 = 2 قطران
• الخماسي (ن = 5): 5 × (5-3) ÷ 2 = 5 × 2 ÷ 2 = 5 أقطار
• السداسي (ن = 6): 6 × (6-3) ÷ 2 = 6 × 3 ÷ 2 = 9 أقطار
• السباعي (ن = 7): 7 × (7-3) ÷ 2 = 7 × 4 ÷ 2 = 14 قطراً

تمرين (تأكد وتدرب - حساب عدد الأقطار):

1. كم عدد أقطار المربع؟ ______
2. كم عدد أقطار الخماسي؟ ______
3. كم عدد أقطار السداسي؟ ______
4. كم عدد أقطار المضلع ذي 10 أضلاع (عشاري)؟ (10 × 7 ÷ 2 = 35 قطراً)

الإجابة: 2 / 5 / 9 / 35

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. الزاوية التي قياسها 120° تسمى زاوية ______. (أ) حادة (ب) قائمة (ج) منفرجة (د) مستقيمة)
2. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمربع = ______. (أ) 180° (ب) 360° (ج) 540° (د) 720°)
3. المضلع الذي له 6 أضلاع يسمى ______. (أ) خماسي (ب) سداسي (ج) سباعي (د) ثماني)
4. قياس الزاوية الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع = ______. (أ) 45° (ب) 60° (ج) 90° (د) 120°)
5. عدد أقطار الخماسي = ______. (أ) 2 (ب) 3 (ج) 4 (د) 5)

الإجابة: ج / ب / ب / ب / د

سؤال 2 (أكمل الفراغات):

1. الزاوية التي قياسها 90° تسمى زاوية ______.
2. أداة قياس الزوايا تسمى ______.
3. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للخماسي = ______°.
4. المضلع المنتظم له أضلاع ______ وزوايا ______.
5. عدد أقطار المضلع الذي له 7 أضلاع = ______ قطراً.

الإجابة: قائمة / المنقلة / 540 / متساوية / متساوية / 14

سؤال 3 (مسائل وتطبيقات):

1. باستخدام المنقلة، ارسم زاوية قياسها 75°، ثم صنفها.
2. ما عدد أضلاع مضلع منتظم إذا كان قياس زاويته الداخلية 144°؟ (حل: (ن-2)×180 ÷ ن = 144 → 180ن - 360 = 144ن → 36ن = 360 → ن = 10 أضلاع)
3. ما عدد أقطار المضلع الذي له 12 ضلعاً؟ (12 × 9 ÷ 2 = 54 قطراً)
4. في المثلث ABC، إذا كانت الزاوية A = 40° والزاوية B = 70°، فما قياس الزاوية C؟ (180 - 110 = 70°)

الإجابة: 10 أضلاع (عشاري منتظم) / 54 قطراً / 70°