العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة
التناسب (Proportionality):
العلاقة بين كميتين تسمى متناسبة إذا كانت النسبة بينهما ثابتة.
إذا كانت ص = ك × س، فإن ص تتناسب طردياً مع س، و ك هو ثابت التناسب.
كيفية التمييز بين العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة:
- نحسب نسبة ص/س أو س/ص.
- إذا كانت النسبة ثابتة لجميع الأزواج، فالعلاقة متناسبة.
- إذا اختلفت النسبة، فالعلاقة غير متناسبة.
تمارين المقارنة (تمثيل جدولي):
| س | ص | نسبة ص/س | تناسب؟ |
|---|
| 2 | 4 | 2 | نعم |
| 4 | 8 | 2 | نعم |
| 6 | 12 | 2 | نعم |
الخلاصة: العلاقة متناسبة (ثابت التناسب = 2)
تأكد: حدد ما إذا كانت العلاقة بين س و ص متناسبة؟
ج: 3/1 = 3، 6/2 = 3، 9/3 = 3 ←
نعم، متناسبة
ج: 2/1 = 2، 5/2 = 2.5، 8/3 ≈ 2.67 ←
لا، غير متناسبة
معدل التغير
معدل التغير (Rate of Change):
هو مقدار التغير في الكمية ص بالنسبة للتغير في الكمية س.
المعادلة: معدل التغير = Δص/Δس = (ص₂ - ص₁)/(س₂ - س₁)
أمثلة على معدل التغير في المواقف الحياتية:
- السرعة = التغير في المسافة / التغير في الزمن (كم/ساعة).
- سعر الوحدة = التغير في السعر / التغير في الكمية (ريال/كجم).
- معدل الاستهلاك = التغير في الكمية / التغير في الزمن (لتر/يوم).
مثال: حساب السرعة (معدل التغير في المسافة)
إذا قطع قطار 150 كلم في 3 ساعات، فما سرعته؟
ج: معدل التغير = 150 ÷ 3 = 50 كلم/ساعة
تأكد: أوجد معدل التغير في الجدول التالي:
ج: معدل التغير = (10-4)/(3-1) = 6/2 =
3
المعدل الثابت للتغير
المعدل الثابت للتغير (Constant Rate of Change):
إذا كان معدل التغير يساوي قيمة ثابتة بين جميع الأزواج المرتبة، فهذا يعني أن العلاقة خطية (تمثل خطاً مستقيماً على الرسم البياني).
خصائص المعدل الثابت للتغير:
- يكون التغير في ص متناسباً طردياً مع التغير في س.
- يمثل ميل الخط المستقيم (Slope).
- صيغة المعادلة: ص = م س + ب (حيث م هو المعدل الثابت).
مثال: هل العلاقة لها معدل ثابت للتغير؟
ج: (6-2)/(2-0) = 4/2 = 2، (10-6)/(4-2) = 4/2 = 2 ←
نعم، ثابت = 2
تأكد: حدد ما إذا كان المعدل ثابتاً أم لا.
ج: (7-5)/(2-1) = 2، (9-7)/(3-2) = 2 ←
ثابت
حل التناسب
قاعدة حل التناسب (الضرب التبادلي):
إذا كان أ/ب = ج/د، فإن أ × د = ب × ج.
أمثلة على حل التناسب:
- س/5 = 12/30 → 30س = 5 × 12 = 60 ← س = 60 ÷ 30 = 2
- 3/4 = 9/س → 3س = 4 × 9 = 36 ← س = 36 ÷ 3 = 12
- 2/س = 8/20 → 2 × 20 = 8س ← 40 = 8س ← س = 5
- 7/س = 14/10 → 7 × 10 = 14س ← 70 = 14س ← س = 5
تمارين الحساب الجبري (حل التناسب):
1. س/8 = 3/4 → 4س = 24 ← س = 6
2. 5/س = 15/30 → 5 × 30 = 15س ← 150 = 15س ← س = 10
3. 3/7 = 12/س → 3س = 84 ← س = 28
4. 9/12 = س/4 → 12س = 36 ← س = 3
اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: حدد ما إذا كانت العلاقة متناسبة؟
ج: 6/2=3، 12/4=3، 18/6=3 ←
نعم متناسبة
س2: أوجد معدل التغير بين النقطتين (2,5) و (6,13).
ج: (13-5)/(6-2) = 8/4 =
2
س3: حل التناسب: س/6 = 8/12
ج: 12س = 48 ←
س = 4
تشابه المضلعات
تعريف المضلعات المتشابهة (Similar Polygons):
مضلعان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.
خصائص التشابه:
- نسبة التشابه (معامل التشابه) = طول ضلع في المضلع الثاني ÷ طول الضلع المتناظر في المضلع الأول.
- إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية والأضلاع متناسبة، فالمضلعان متشابهان.
تمارين الهندسة (إيجاد طول ضلع مجهول في مثلثين متشابهين):
- مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 3، 4، 5. ومعامل التشابه = 2. فما أطوال الثاني؟
ج: 6، 8، 10
- في مثلثين متشابهين، إذا كان طول ضلع في الأول 6 سم، وطول الضلع المتناظر في الثاني 9 سم، فما نسبة التشابه؟
ج: 9/6 = 3/2
تأكد: هل المستطيلان (2×3) و (4×6) متشابهان؟
ج: نعم، نسبة الأضلاع: 4/2 = 2 و 6/3 = 2 ← متشابهان
القياس غير المباشر
القياس غير المباشر (Indirect Measurement):
استخدام التشابه والتناسب لحساب أطوال أو مسافات لا يمكن قياسها مباشرة (مثل ارتفاع بناية باستخدام ظل عصا قصيرة).
المبدأ:
ارتفاع الجسم / طول ظله = ارتفاع الجسم الآخر / طول ظله (في نفس الوقت).
لأن أشعة الشمس تشكل مثلثات متشابهة مع الأجسام وأظلتها.
أمثلة على القياس غير المباشر:
- عصا طولها 2 متر، ظلها 1.5 متر. بناية ظلها 6 أمتار. ما ارتفاع البناية؟
ج: 2/1.5 = ع/6 ← 1.5 ع = 12 ← ع = 8 أمتار
- شخص طوله 1.6 متر، ظله 2 متر. في نفس الوقت، ظل شجرة 5 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
ج: 1.6/2 = ع/5 ← 2ع = 8 ← ع = 4 أمتار
تأكد:
عمود إنارة طوله 6 أمتار، ظله 4 أمتار. في نفس الوقت، ظل شجرة 10 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
ج: 6/4 = ع/10 ← 4ع = 60 ← ع = 15 متراً
استكشاف الأشكال المتشابهة
نشاط عملي: استخدام برمجيات ديناميكية (مثل GeoGebra) لتكبير أو تصغير أشكال هندسية، وملاحظة أن الزوايا ثابتة والأضلاع تتغير بنسبة ثابتة.
الاستنتاج:
- الأشكال المتشابهة تحافظ على قياسات الزوايا.
- الأضلاع المتناظرة تكون بنسب متساوية (أي متشابهة).
- يمكن إنشاء مضلعات متشابهة بضرب أطوال الأضلاع في عامل قياس ثابت.
نشاط: إذا كان عامل التكبير = 3، ورسمت مربعاً طول ضلعه 2 سم، فما طول ضلع المربع المكبر؟
ج: 2 × 3 = 6 سم
مقياس الرسم
مقياس الرسم (Scale):
هو النسبة بين بعد في الرسم والبعد الحقيقي المقابل له.
أنواعه:
- مقياس رسم كتابي: 1 : 100000 (يقرأ 1 سم على الرسم يقابل 100000 سم = 1 كم في الواقع).
- مقياس رسم خطي: خط متدرج على الخريطة.
قانون مقياس الرسم:
البعد في الرسم ÷ البعد الحقيقي = مقياس الرسم
البعد الحقيقي = البعد في الرسم ÷ مقياس الرسم (إذا كان مقياس الرسم كسراً)
البعد في الرسم = البعد الحقيقي × مقياس الرسم
مسائل حياتية على مقياس الرسم:
- خريطة مقياس رسمها 1 : 500000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 4 سم. كم المسافة الحقيقية بينهما؟
ج: 4 × 500000 = 2,000,000 سم = 20 كم
- إذا كانت المسافة الحقيقية بين قريتين 15 كم، ومقياس الرسم 1 : 300000، فكم المسافة على الخريطة؟
ج: 15 كم = 1,500,000 سم ← 1,500,000 ÷ 300,000 = 5 سم
- في نموذج لسيارة، مقياس الرسم 1 : 24، إذا كان طول النموذج 20 سم، فما طول السيارة الحقيقية؟
ج: 20 × 24 = 480 سم = 4.8 متر
تأكد:
خريطة مقياسها 1 : 250000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 8 سم. كم المسافة الحقيقية؟
ج: 8 × 250000 = 2,000,000 سم = 20 كم
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
✅ نموذج الإجابات:
س1: حل التناسب: 5/8 = س/24
ج: 8س = 5 × 24 = 120 ← س = 15
س2: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 4، 6، 8. ومعامل التشابه = 1.5. أوجد أطوال الثاني.
ج: 4×1.5 = 6، 6×1.5 = 9، 8×1.5 = 12 ← 6، 9، 12
س3: عصا طولها 1.5 متر، ظلها 2 متر. في نفس الوقت، ظل برج 16 متراً. ما ارتفاع البرج؟
ج: 1.5/2 = ع/16 ← 2ع = 24 ← ع = 12 متراً
س4: خريطة مقياسها 1 : 100000، المسافة على الخريطة 3.5 سم. كم المسافة الحقيقية بالكيلومترات؟
ج: 3.5 × 100000 = 350000 سم = 3.5 كم
س5: مسألة مهارات تفكير عليا (تبرير): لماذا العلاقة 2س + 1 ليست علاقة تناسبية؟
ج: لأن النسبة ص/س غير ثابتة (عند س=1، ص=3 ← 3/1=3؛ عند س=2، ص=5 ← 5/2=2.5؛ النسب مختلفة).
