علاقات الزوايا
أنواع العلاقات بين الزوايا:
- الزوايا المتجاورة (Adjacent Angles): زاويتان تشتركان في الرأس والضلع ولا تشتركان في النقطة الداخلية.
- الزوايا المتعامدة (Perpendicular): زاويتان قياس كل منهما 90 درجة، ويشكلان زاوية قائمة.
- الزوايا المتكاملة (Supplementary Angles): زاويتان مجموع قياسهما 180 درجة.
- الزوايا المتتامة (Complementary Angles): زاويتان مجموع قياسهما 90 درجة.
- الزوايا المتقابلة بالرأس (Vertical Angles): زاويتان متقابلتان تتساويان في القياس.
أمثلة على العلاقات:
- إذا كانت ∠أ = 30°، ∠ب = 60° ← متتامتان (30 + 60 = 90)
- إذا كانت ∠ج = 110°، ∠د = 70° ← متكاملتان (110 + 70 = 180)
- الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان
تمارين الحساب الهندسي (إيجاد قيمة س):
- إذا كانت الزاويتان متكاملتين، قياس إحداهما = 3س، والأخرى = 2س، فجد س.
ج: 3س + 2س = 180 ← 5س = 180 ← س = 36°
- إذا كانت الزاويتان متتامتين، قياس إحداهما = 4س - 10، والأخرى = 3س + 5، فجد س.
ج: (4س - 10) + (3س + 5) = 90 ← 7س - 5 = 90 ← 7س = 95 ← س = 13.57°
تأكد:
1. إذا كانت ∠أ = 45°، فما قياس الزاوية المتتامة لها؟ 45°
2. إذا كانت ∠ب = 120°، فما قياس الزاوية المتكاملة لها؟ 60°
3. زاويتان متقابلتان بالرأس، إحداهما = 5س، والأخرى = 2س + 30، فجد س.
ج: 5س = 2س + 30 ← 3س = 30 ← س = 10
الزوايا والمستقيمات المتوازية
الزوايا المتكونة من قاطع لمستقيمين متوازيين:
- الزوايا المتناظرة (Corresponding Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتبادلة داخلياً (Alternate Interior Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتبادلة خارجياً (Alternate Exterior Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتحالفة (Same-Side Interior Angles): مجموع قياساتها 180 درجة (متكاملة).
تمارين التصنيف (تصنيف أزواج الزوايا):
- إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، وكانت إحدى الزوايا 70°، فأوجد قياسات بقية الزوايا.
ج: الزاوية المتناظرة = 70°، المتبادلة داخلياً = 70°، المتحالفة = 110°.
أمثلة على إيجاد قياس الزوايا:
- في الشكل، مستقيمان متوازيان وقاطع، قياس إحدى الزوايا = 5س + 20، والزاوية المتناظرة = 3س + 50، فجد س.
ج: 5س + 20 = 3س + 50 ← 2س = 30 ← س = 15°
تأكد:
في الشكل، إذا كان ∠1 = 120°، فأوجد قياس ∠2، ∠3، ∠4.
ج: ∠2 = 120° (متناظرة)، ∠3 = 60° (متحالفة مع ∠1)، ∠4 = 60° (متناظرة مع ∠3).
اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: زاويتان متكاملتان، قياس إحداهما 2س، والأخرى 3س - 20، فجد س.
ج: 2س + (3س - 20) = 180 ← 5س = 200 ← س = 40°
س2: في مستقيمين متوازيين، زاوية قياسها 5س + 10، والزاوية المتناظرة لها 7س - 30، فجد س.
ج: 5س + 10 = 7س - 30 ← 40 = 2س ← س = 20°
الاستدلال المنطقي
الاستدلال المنطقي (Logical Reasoning):
هو عملية الوصول إلى استنتاجات صحيحة باستخدام المعطيات والمبادئ الرياضية السليمة.
تمارين التبرير (هل المضلع منتظم؟ وضح إجابتك):
- مضلع جميع زواياه متساوية وجميع أضلاعه متساوية ← منتظم
- مربع ← منتظم
- مستطيل ← غير منتظم (لأن الأضلاع غير متساوية جميعها)
اكتشف الخطأ في تحديد نوع الزاوية:
قال طالب: الزاويتان 110° و 70° متتامتان. هل هذا صحيح؟
ج: خطأ، لأن 110 + 70 = 180، فهما متكاملتان وليس متتامتين.
المضلعات والزوايا
قوانين الزوايا في المضلعات:
- مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع = (ن - 2) × 180° حيث ن = عدد الأضلاع
- قياس الزاوية الداخلية في المضلع المنتظم = [(ن - 2) × 180] ÷ ن
- مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع = 360° (دائماً)
أمثلة على الحساب الهندسي:
- أوجد مجموع زوايا المضلع الخماسي (ن = 5): (5-2) × 180 = 3 × 180 = 540°
- أوجد قياس الزاوية الداخلية في السداسي المنتظم (ن = 6): (6-2) × 180 ÷ 6 = 4 × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120°
- أوجد عدد أضلاع مضلع منتظم قياس زاويته الداخلية 108°: (ن-2) × 180 ÷ ن = 108 ← 180ن - 360 = 108ن ← 72ن = 360 ← ن = 5
تأكد:
1. مجموع زوايا المضلع السداسي = 720°
2. قياس الزاوية الداخلية في المربع = 90°
3. إذا كان قياس الزاوية الداخلية في مضلع منتظم = 150°، فما عدد أضلاعه؟
ج: (ن-2) × 180 = 150ن ← 180ن - 360 = 150ن ← 30ن = 360 ← ن = 12
تطابق المضلعات
تعريف التطابق (Congruence):
مضلعان متطابقان إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متساوية وزواياهما المتناظرة متساوية.
كتابة عبارات التطابق وإيجاد العناصر المجهولة:
- إذا كان △ABC ≅ △DEF، وAB = 5 سم، BC = 7 سم، AC = 6 سم، فأوجد DE، EF، DF.
ج: DE = 5 سم، EF = 7 سم، DF = 6 سم
- إذا كان ∠A = 50°، ∠B = 60°، فأوجد ∠D، ∠E، ∠F.
ج: ∠D = 50°، ∠E = 60°، ∠F = 70°
تأكد:
إذا كان مربع ABCD يطابق مربع EFGH، وAB = 8 سم، فأوجد EF = 8 سم
التماثل
التماثل حول محور (Line Symmetry):
الشكل متماثل حول محور إذا كان طي الشكل على هذا المحور يطابق جزئيه.
التماثل الدوراني (Rotational Symmetry):
الشكل متماثل دورانيًا إذا كان الشكل يدور حول نقطة مركزية ويطابق نفسه قبل الدوران.
- رتبة التماثل الدوراني = عدد المرات التي يطابق فيها الشكل نفسه خلال دورة كاملة (360°)
- زاوية التماثل الدوراني = 360° ÷ رتبة التماثل
تطبيقات واقعية (التماثل في الشعارات الوطنية أو الأشكال الطبيعية):
- شعار المملكة العربية السعودية (سيفان متقاطعان ونخلة) ← متماثل حول محور عمودي
- ورقة الشجر ← غالباً متماثلة حول محور
- المربع ← رتبة تماثل دوراني = 4، زاوية = 90°
تأكد:
1. كم عدد محاور التماثل في المستطيل؟ 2 محاور
2. كم عدد محاور التماثل في الدائرة؟ عدد لا نهائي
3. رتبة التماثل الدوراني للمثلث متساوي الأضلاع = 3
الانعكاس
قواعد الانعكاس في المستوى الإحداثي:
- الانعكاس حول محور السينات (x-axis): (س، ص) → (س، -ص)
- الانعكاس حول محور الصادات (y-axis): (س، ص) → (-س، ص)
- الانعكاس حول المستقيم y = x: (س، ص) → (ص، س)
- الانعكاس حول المستقيم y = -x: (س، ص) → (-ص، -س)
تمارين الرسم في المستوى الإحداثي:
- إذا كانت النقطة أ = (3, 5)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول محور السينات.
ج: (3, -5)
- إذا كانت النقطة ب = (-2, 4)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول محور الصادات.
ج: (2, 4)
- إذا كانت النقطة ج = (4, 2)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول المستقيم y = x.
ج: (2, 4)
تأكد:
ارسم المثلث الذي رؤوسه أ(1,2)، ب(3,4)، ج(5,1) ثم أرسم صورته بعد انعكاس حول محور الصادات.
ج: أ'(-1,2)، ب'(-3,4)، ج'(-5,1)
الانسحاب
الانسحاب (Translation):
هو إزاحة جميع نقاط الشكل بمقدار ثابت في اتجاه معين.
الصيغة: (س، ص) → (س + أ، ص + ب)
حيث أ هو مقدار الانسحاب أفقيًا، ب هو مقدار الانسحاب عموديًا.
أمثلة على الانسحاب:
- إذا انسحبت النقطة (2, 3) بمقدار 4 وحدات لليمين و2 وحدة للأعلى، فأوجد صورتها.
ج: (2+4, 3+2) = (6, 5)
- إذا انسحبت النقطة (-1, 5) بمقدار 3 وحدات لليسار و4 وحدات لأسفل، فأوجد صورتها.
ج: (-1-3, 5-4) = (-4, 1)
الرسم في المستوى الإحداثي:
ارسم المربع الذي رؤوسه أ(1,1)، ب(3,1)، ج(3,3)، د(1,3) ثم أرسم صورته بعد انسحاب بمقدار 2 وحدات لليمين و1 وحدة للأعلى.
ج: أ'(3,2)، ب'(5,2)، ج'(5,4)، د'(3,4)
تأكد:
انسحب المثلث أ(0,0)، ب(2,0)، ج(1,3) بمقدار 3 وحدات لليمين ووحدتين للأعلى. أوجد الإحداثيات الجديدة.
ج: أ'(3,2)، ب'(5,2)، ج'(4,5)
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
✅ نموذج الإجابات:
س1: زاويتان متكاملتان، إحداهما تساوي 3س، والأخرى تساوي 2س + 20، فجد س.
ج: 3س + (2س + 20) = 180 ← 5س + 20 = 180 ← 5س = 160 ← س = 32°
س2: في مستقيمين متوازيين، زاوية قياسها 4س - 10، والزاوية المتناظرة لها 2س + 30، فجد س.
ج: 4س - 10 = 2س + 30 ← 2س = 40 ← س = 20°
س3: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع السباعي (ن = 7).
ج: (7-2) × 180 = 5 × 180 = 900°
س4: إذا كان المثلثان ABC و DEF متطابقين، وAB = 6 سم، BC = 8 سم، AC = 10 سم، فأوجد DE.
ج: DE = AB = 6 سم
س5: أنعكس النقطة (4, -2) حول محور الصادات.
ج: (-4, -2)
س6: انسحب النقطة (5, 3) بمقدار 2 وحدات لليسار ووحدة واحدة لأسفل.
ج: (3, 2)
س7: مسألة مهارات تفكير عليا (تبرير): قال طالب أن المربع متماثل دورانيًا برتبة 4. هل هذا صحيح؟
ج: نعم، لأن المربع يطابق نفسه 4 مرات خلال دورة كاملة (0°, 90°, 180°, 270°).
