كتاب الطالب رياضيات

العمليات على الأعداد الصحيحة والكسور:

1. أوجد ناتج: \( 24 + (-13) + 5 - (-7) \)
   الإجابة: \( 24 - 13 + 5 + 7 = 23 \)
2. بسّط: \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \)
   الإجابة: \( \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} \)
3. احسب: \( 5 \times (3^2 - 2 \times 4) \)
   الإجابة: \( 5 \times (9 - 8) = 5 \times 1 = 5 \)
4. حول الكسر العشري 0.125 إلى كسر اعتيادي في أبسط صورة.
   الإجابة: \( \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \)

أساسيات الهندسة والقياس:

1. احسب محيط المستطيل الذي طوله 8 سم وعرضه 5 سم.
   الإجابة: \( 2 \times (8+5) = 26 \text{ سم} \)
2. ما مساحة مربع طول ضلعه 6 سم؟
   الإجابة: \( 6 \times 6 = 36 \text{ سم}^2 \)
3. كم ملليمتراً في 3.5 سنتيمترات؟
   الإجابة: \( 3.5 \times 10 = 35 \text{ مم} \)

المتغير والعبارة الجبرية: المتغير رمز يمثل قيمة غير معلومة (مثل x، y). العبارة الجبرية تعبير رياضي يحتوي على أعداد ومتغيرات وعمليات (مثل 2x + 3). المعادلة جملة رياضية تحتوي على علامة يساوي (=).

حل المعادلة من خطوة واحدة باستخدام العمليات العكسية: نضيف أو نطرح أو نضرب أو نقسم على نفس العدد في الطرفين لعزل المتغير.

أمثلة:

• \( x + 7 = 12 \) → نطرح 7 من الطرفين: \( x = 5 \)
• \( x - 9 = 3 \) → نضيف 9: \( x = 12 \)
• \( 4x = 20 \) → نقسم على 4: \( x = 5 \)
• \( \frac{x}{3} = 6 \) → نضرب في 3: \( x = 18 \)

تمارين (تأكد وتدرب):

1. \( x + 12 = 25 \) → \( x = 13 \)
2. \( y - 8 = 14 \) → \( y = 22 \)
3. \( 7x = 49 \) → \( x = 7 \)
4. \( \frac{a}{4} = 11 \) → \( a = 44 \)

تحتوي هذه المعادلات على عمليتين. نطبق العمليات العكسية بترتيب عكسي: أولاً نتعامل مع الجمع أو الطرح، ثم مع الضرب أو القسمة.

أمثلة:

• \( 2x + 3 = 11 \) → نطرح 3: \( 2x = 8 \) → نقسم على 2: \( x = 4 \)
• \( \frac{x}{2} - 5 = 3 \) → نضيف 5: \( \frac{x}{2} = 8 \) → نضرب في 2: \( x = 16 \)
• \( 4x - 7 = 21 \) → نضيف 7: \( 4x = 28 \) → نقسم على 4: \( x = 7 \)

تمارين (تدرب وحل المسائل):

1. \( 3x + 5 = 20 \) → \( x = 5 \)
2. \( \frac{x}{5} - 4 = 2 \) → \( x = 30 \)
3. \( 6x - 12 = 24 \) → \( x = 6 \)
4. مسألة حياتية: إذا اشترى أحمد 4 أقلام بسعر متساوٍ ودفع 8 ريالات، وكان الثمن الإجمالي 24 ريالاً، فما ثمن القلم الواحد؟ (لنفرض سعر القلم x: \( 4x + 8 = 24 \) → \( 4x = 16 \) → \( x = 4 \) ريالات).

تعريف العدد النسبي: هو العدد الذي يمكن كتابته على صورة \( \frac{a}{b} \) حيث a و b عددان صحيحان، و \( b \neq 0 \).

مقارنة الأعداد النسبية: بتوحيد المقامات أو بتحويلها إلى كسور عشرية.

أمثلة:

• قارن بين \( \frac{2}{3} \) و \( \frac{3}{4} \) → نوحد المقامات: \( \frac{8}{12} \) و \( \frac{9}{12} \) → \( \frac{2}{3} < \frac{3}{4} \)
• حول \( \frac{5}{8} \) إلى كسر عشري: \( 5 \div 8 = 0.625 \)
• جمع: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
• طرح: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12} \)
• ضرب: \( \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
• قسمة: \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

تمارين (تأكد وتدرب):

1. رتب الأعداد النسبية تصاعدياً: \( \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \frac{1}{2} \) → \( \frac{3}{10}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2} \)
2. \( \frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \)
3. \( \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \)
4. \( \frac{2}{7} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{7} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \)

الانسحاب (Translation): تحريك الشكل من مكان إلى آخر دون تدويره، مع الحفاظ على حجمه واتجاهه. يحدد الانسحاب بمقدار واتجاه (إلى اليمين/اليسار والأعلى/الأسفل).

الانعكاس (Reflection): قلب الشكل حول خط مستقيم (محور الانعكاس) لينتج صورة معكوسة. المحور قد يكون محور السينات أو محور الصادات أو أي خط آخر.

الدوران (Rotation): تدوير الشكل حول نقطة مركزية بزاوية معينة (90°، 180°، 270°).

أمثلة:

• إذا كانت النقطة (2, 3) تُنسحب 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى الأعلى، تصبح (5, 5).
• إذا انعكست النقطة (4, 5) حول محور السينات، تصبح (4, -5).
• إذا دارت النقطة (1, 2) بزاوية 180° حول نقطة الأصل، تصبح (-1, -2).

تمارين (تأكد وتدرب):

1. انعكست النقطة (3, -4) حول محور الصادات. ما إحداثياتها الجديدة؟ → (-3, -4)
2. دارت النقطة (2, 5) بزاوية 90° حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة. ما إحداثياتها الجديدة؟ → (-5, 2)
3. انسحب المثلث الذي رؤوسه A(1,1), B(3,1), C(2,4) بمقدار 4 وحدات إلى اليمين و3 وحدات إلى الأسفل. ما إحداثيات الرؤوس الجديدة؟ → A'(5,-2), B'(7,-2), C'(6,1)
4. ارسم شكلاً في المستوى الإحداثي وطبق عليه انسحاباً وانعكاساً ودوراناً.

المتوسط الحسابي (Mean): مجموع القيم مقسوماً على عددها.

الوسيط (Median): القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات. إذا كان عدد البيانات فردياً فهو القيمة الوسطى، وإذا كان زوجياً فهو متوسط القيمتين الوسطيتين.

المنوال (Mode): القيمة الأكثر تكراراً.

تمثيل البيانات: استخدام الجداول التكرارية والرسوم البيانية (الأعمدة، الخطوط، القطاعات الدائرية) لعرض البيانات.

أمثلة:

• البيانات: 4, 6, 8, 10, 12 → المتوسط = (4+6+8+10+12)/5 = 40/5 = 8
• البيانات: 5, 7, 7, 9, 11 → الوسيط = 7 (القيمة الثالثة)، المنوال = 7
• البيانات: 10, 20, 30, 40 → الوسيط = (20+30)/2 = 25 (عدد البيانات زوجي)

تمارين (تأكد وتدرب):

1. أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال للبيانات: 12, 15, 12, 18, 20, 15, 12
   → المتوسط = (12+15+12+18+20+15+12)/7 = 104/7 ≈ 14.86، بعد الترتيب (12,12,12,15,15,18,20) → الوسيط = 15، المنوال = 12.
2. أكمل الجدول التكراري: إذا كان لديك 20 طالباً، 8 منهم يفضلون الرياضيات، 5 يفضلون العلوم، 4 يفضلون الإنجليزية، و3 يفضلون التاريخ. ارسم تمثيلاً بالأعمدة.
3. كم درجة مئوية هي درجة حرارة الجسم الطبيعية؟ (37 درجة مئوية).
4. إذا كانت درجة الحرارة 86 فهرنهايت، فما قيمتها بالدرجة المئوية؟ (86 - 32) × 5/9 = 30 درجة مئوية.

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. حل المعادلة \( 2x - 5 = 9 \) هو ______. (أ) 5 (ب) 6 (ج) 7 (د) 8)
2. العدد النسبي \( \frac{5}{8} \) في صورة كسر عشري هو ______. (أ) 0.5 (ب) 0.625 (ج) 0.75 (د) 0.8)
3. إذا انعكست النقطة (4, -2) حول محور السينات، إحداثياتها الجديدة هي ______. (أ) (-4, 2) (ب) (4, 2) (ج) (-4, -2) (د) (2, 4))
4. الوسيط للبيانات 5, 8, 8, 10, 12 هو ______. (أ) 5 (ب) 8 (ج) 10 (د) 12)

الإجابة: ج / ب / ب / ب

سؤال 2 (أكمل الفراغات):

1. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث هو ______ درجة.
2. محيط مربع طول ضلعه 7 سم هو ______ سم.
3. المتوسط الحسابي للأعداد 10, 20, 30, 40 هو ______.
4. إذا دارت النقطة (3, 4) بزاوية 180° حول نقطة الأصل، تصبح ______.

الإجابة: 180 / 28 / 25 / (-3, -4)

سؤال 3 (مسائل لفظية):

1. إذا كان ثمن 5 كيلوغرامات من البرتقال 35 ريالاً، فما ثمن الكيلوغرام الواحد؟
   الحل: \( 35 ÷ 5 = 7 \) ريالات.
2. إذا كان عمر أحمد يساوي ضعف عمر أخيه خالد، ومجموع عمريهما 30 سنة، فما عمر كل منهما؟
   الحل: نفرض عمر خالد = س، عمر أحمد = 2س، \( س + 2س = 30 \) → \( 3س = 30 \) → \( س = 10 \)، عمر خالد = 10 سنوات، عمر أحمد = 20 سنة.
3. رُسم مستطيل طوله 12 سم وعرضه 5 سم. احسب محيطه ومساحته. إذا تم تكبير المستطيل بمقدار 3 سم من كل جانب، فما المحيط الجديد؟
   الحل: المحيط = 2×(12+5)=34 سم، المساحة = 12×5=60 سم². بعد التكبير: الطول 15 سم، العرض 8 سم، المحيط الجديد = 2×(15+8)=46 سم.