تعريف العدد النسبي
تعريف العدد النسبي (Rational Number):
هو العدد الذي يمكن كتابته على الصورة أ/ب، حيث أ و ب عددان صحيحان، ب ≠ 0.
أشكال الأعداد النسبية:
- كسر اعتيادي: 3/4، 5/2، 7/8
- كسر عشري منتهي: 0.25 = 1/4، 0.5 = 1/2، 0.75 = 3/4
- كسر عشري دوري: 0.333... = 1/3، 0.666... = 2/3، 0.1666... = 1/6
تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر اعتيادي:
- 0.333... = 1/3 (لأن 0.333... × 3 = 1)
- 0.666... = 2/3
- 0.1666... = 1/6
تأكد (تمارين مباشرة):
س: اكتب كل عدد نسبي في الصورة العشرية:
1. 3/5 = 0.6
2. 7/10 = 0.7
3. 1/3 = 0.333... (دوري)
4. 5/8 = 0.625
تدرب وحل المسائل:
س: اكتب العدد العشري على صورة كسر اعتيادي:
1. 0.4 = 4/10 = 2/5
2. 0.125 = 125/1000 = 1/8
3. 0.666... = 2/3
أمثلة على المقارنة:
- قارن بين 2/3 و 3/4: م.م.أ (3،4) = 12 → 8/12 < 9/12 ← 2/3 < 3/4
- قارن بين 0.5 و 0.25: 0.5 > 0.25
- قارن بين -1/2 و -1/3: -1/2 < -1/3 (لأن -0.5 < -0.333)
ترتيب الأعداد النسبية:
لترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (تصاعدياً) أو من الأكبر إلى الأصغر (تنازلياً):
- حوّل جميع الأعداد إلى كسور ذات مقام موحد.
- أو حولها إلى أعداد عشرية ثم رتبها.
مثال: رتب 1/2، 0.75، 3/4، 0.6 ترتيباً تصاعدياً.
ج: 1/2 = 0.5، 3/4 = 0.75 ← 0.5، 0.6، 0.75، 0.75 →
0.5 < 0.6 < 0.75 = 0.75
قواعد ضرب الأعداد النسبية
ضرب الكسور الاعتيادية:
نضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ثم نبسط الناتج إذا أمكن.
المعادلة: أ/ب × ج/د = (أ × ج)/(ب × د)
قواعد الإشارات في الضرب:
- (+) × (+) = (+)
- (+) × (-) = (-)
- (-) × (+) = (-)
- (-) × (-) = (+)
أمثلة على ضرب الكسور الاعتيادية:
- 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15
- (-3/4) × (2/5) = (-3×2)/(4×5) = -6/20 = -3/10
- (-2/3) × (-5/7) = (2×5)/(3×7) = 10/21
ضرب الأعداد الكسرية:
نحول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي ثم نضرب.
مثال: 1½ × 2¾ = (3/2) × (11/4) = 33/8 = 4⅛
تأكد:
1. 3/5 × 2/7 = 6/35
2. (-4/7) × 3/5 = -12/35
3. 2⅓ × 1½ = (7/3) × (3/2) = 21/6 = 7/2 = 3½
قواعد قسمة الأعداد النسبية
قاعدة القسمة:
أ/ب ÷ ج/د = أ/ب × د/ج (نضرب في مقلوب المقسوم عليه).
المقلوب (النظير الضربي): مقلوب الكسر أ/ب هو ب/أ.
قواعد الإشارات في القسمة:
(مثل قواعد الضرب: موجب ÷ موجب = موجب، سالب ÷ موجب = سالب، إلخ.)
أمثلة على قسمة الكسور الاعتيادية:
- 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
- (-3/4) ÷ 2/5 = -3/4 × 5/2 = -15/8
- (-2/3) ÷ (-5/7) = -2/3 × -7/5 = 14/15
قسمة الأعداد الكسرية:
نحول العدد الكسري إلى كسر غير فعلي ثم نقسم.
مثال: 2½ ÷ 1¾ = (5/2) ÷ (7/4) = 5/2 × 4/7 = 20/14 = 10/7 = 1⅜
تأكد:
1. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8
2. (-5/6) ÷ 2/3 = -5/6 × 3/2 = -15/12 = -5/4
3. 2⅓ ÷ 1⅕ = (7/3) ÷ (6/5) = 7/3 × 5/6 = 35/18
جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
القاعدة:
أ/ج + ب/ج = (أ + ب)/ج (نفس المقام نجمّع البسط)
أ/ج - ب/ج = (أ - ب)/ج
أمثلة:
- 3/7 + 2/7 = (3+2)/7 = 5/7
- 5/8 - 3/8 = (5-3)/8 = 2/8 = 1/4
- (-4/9) + 2/9 = (-4+2)/9 = -2/9
- 7/10 - (-2/10) = (7+2)/10 = 9/10
تأكد:
1. 4/11 + 3/11 = 7/11
2. 7/9 - 2/9 = 5/9
3. (-5/12) + 7/12 = 2/12 = 1/6
4. 5/6 - (-1/6) = 6/6 = 1
جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة
خطوات توحيد المقامات:
- أوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامات.
- حوّل كل كسر إلى كسر مكافئ له مقامه = م.م.أ.
- اجمع أو اطرح البسطين مع بقاء المقام كما هو.
- بسّط الناتج إذا أمكن.
أمثلة:
- 1/2 + 1/3: م.م.أ (2,3) = 6 → 3/6 + 2/6 = 5/6
- 3/4 - 1/6: م.م.أ (4,6) = 12 → 9/12 - 2/12 = 7/12
- 2/5 + (-3/10): م.م.أ (5,10) = 10 → 4/10 - 3/10 = 1/10
- 2⅓ + 1½: (7/3) + (3/2): م.م.أ (3,2) = 6 → 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3⅚
تأكد:
1. 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
2. 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12
3. (-3/5) + 1/2 = -6/10 + 5/10 = -1/10
4. 1⅔ + 2¼ = (5/3) + (9/4) = 20/12 + 27/12 = 47/12 = 3 11/12
اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: اكتب 3/4 على صورة كسر عشري.
ج: 0.75
س2: قارن بين 2/5 و 0.4.
ج: 2/5 = 0.4 ← متساويان
س3: أوجد ناتج (-2/3) × (3/4).
ج: -6/12 = -1/2
س4: أوجد ناتج 3/4 ÷ 1/2.
ج: 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1½
س5: أوجد ناتج 2/5 + 3/10.
ج: 4/10 + 3/10 = 7/10
القوى والأسس
تعريف القوة (الأس):
هي اختصار لضرب العدد (الأساس) في نفسه عدداً من المرات.
أⁿ = أ × أ × أ × ... (n من المرات)
أ: الأساس (Base)
ن: الأس (Exponent)
قواعد الأسس:
- أ⁰ = 1 (أ ≠ 0)
- أ¹ = أ
- أ⁻ⁿ = 1/أⁿ (الأس السالب = مقلوب الأساس المرفوع لأس موجب)
- (أ × ب)ⁿ = أⁿ × بⁿ
- (أ ÷ ب)ⁿ = أⁿ ÷ بⁿ
- أⁿ × أᵐ = أⁿ⁺ᵐ
- أⁿ ÷ أᵐ = أⁿ⁻ᵐ
- (أⁿ)ᵐ = أⁿˣᵐ
أمثلة على الأسس السالبة:
- 3⁻² = 1/3² = 1/9
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
- 4⁻¹ = 1/4
- (1/2)⁻² = 2² = 4
تأكد:
1. 5³ = 125
2. 4⁻² = 1/16
3. (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4
4. كتابة 1000 بالصورة الأسية = 10³
الصيغة العلمية
تعريف الصيغة العلمية (Scientific Notation):
هي طريقة لكتابة الأعداد الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً على الصورة:
أ × 10ⁿ
- 1 ≤ أ < 10 (أ عدد عشري بين 1 و 10)
- ن أس صحيح (موجب للأعداد الكبيرة، سالب للأعداد الصغيرة)
تحويل الأعداد الكبيرة جداً إلى صيغة علمية:
- 300,000,000 = 3 × 10⁸
- 5,000,000 = 5 × 10⁶
- 123,000 = 1.23 × 10⁵
تحويل الأعداد الصغيرة جداً إلى صيغة علمية:
- 0.0003 = 3 × 10⁻⁴
- 0.000007 = 7 × 10⁻⁶
- 0.000123 = 1.23 × 10⁻⁴
تحويل الصيغة العلمية إلى صيغة قياسية:
- 4.5 × 10³ = 4.5 × 1000 = 4,500
- 2.3 × 10⁻² = 2.3 × 0.01 = 0.023
تأكد:
1. اكتب 7,200,000 بالصيغة العلمية: 7.2 × 10⁶
2. اكتب 0.00045 بالصيغة العلمية: 4.5 × 10⁻⁴
3. اكتب 8.5 × 10⁵ بالصيغة القياسية: 850,000
4. اكتب 6.3 × 10⁻³ بالصيغة القياسية: 0.0063
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
✅ نموذج الإجابات:
س1: اكتب العدد 0.75 على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.
ج: 75/100 = 3/4
س2: رتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر: 1/2، 0.4، 3/5، 0.666...
ج: 0.4 = 0.4، 1/2 = 0.5، 0.6 = 0.6، 0.666... = 0.666... ← 0.4 < 0.5 < 0.6 < 0.666...
س3: أوجد ناتج (-2/3) × (3/4) × (-5/6)
ج: (-2×3×-5)/(3×4×6) = 30/72 = 5/12
س4: أوجد ناتج (3/4) ÷ (-2/5)
ج: 3/4 × -5/2 = -15/8
س5: أوجد ناتج 2/3 + 1/4 - 5/6
ج: م.م.أ (3,4,6) = 12 → 8/12 + 3/12 - 10/12 = 1/12
س6: أحسب قيمة 4⁻²
ج: 1/16
س7: اكتب 0.000056 بالصيغة العلمية
ج: 5.6 × 10⁻⁵
س8: مسألة مهارات تفكير عليا: إذا كان أ/ب = 2/3، أوجد قيمة 3أ في أبسط صورة.
ج: بما أن أ/ب = 2/3 ← 3أ/ب = 3 × 2/3 = 2
