تمارين التهيئة
س: أحسب قيمة كل عبارة مما يلي:
1. 15 + 23 = 38
2. 45 - 18 = 27
3. 7 × 8 = 56
4. 48 ÷ 6 = 8
5. 12 × 5 = 60
6. 144 ÷ 12 = 12
س: أوجد قيمة س إذا كانت س × 5 = 35
ج: س = 7 (لأن 7 × 5 = 35)
المعادلات
تعريف المعادلة (Equation):
هي جملة رياضية تحتوي على إشارة يساوي (=) ومتغير واحد أو أكثر.
مجموعة التعويض (Solution Set):
هي مجموعة القيم التي تجعل المعادلة صحيحة عند تعويض المتغير بها.
أمثلة:
- س + 5 = 12 ← س = 7
- 2س = 16 ← س = 8
- ص - 4 = 10 ← ص = 14
تمرين: حدد هل العدد المعطى يمثل حلاً للمعادلة؟
1. س + 9 = 17، س = 8 (نعم، لأن 8 + 9 = 17)
2. 3س = 24، س = 9 (لا، لأن 3 × 9 = 27 ≠ 24)
3. ص - 7 = 12، ص = 19 (نعم، لأن 19 - 7 = 12)
معادلات الجمع والطرح
قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):
- لحل معادلة جمع (س + أ = ب): نطرح أ من كلا الطرفين.
- لحل معادلة طرح (س - أ = ب): نضيف أ إلى كلا الطرفين.
أمثلة:
- س + 8 = 15 ← س = 15 - 8 = 7
- ص - 7 = 12 ← ص = 12 + 7 = 19
- أ + 12 = 20 ← أ = 20 - 12 = 8
- م - 5 = 9 ← م = 9 + 5 = 14
معادلات الضرب والقسمة
قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):
- لحل معادلة ضرب (أس = ب): نقسم كلا الطرفين على أ.
- لحل معادلة قسمة (س ÷ أ = ب): نضرب كلا الطرفين في أ.
أمثلة:
- 4س = 20 ← س = 20 ÷ 4 = 5
- 3ط = 30 ← ط = 30 ÷ 3 = 10
- س ÷ 5 = 9 ← س = 9 × 5 = 45
- ص ÷ 8 = 7 ← ص = 7 × 8 = 56
تمرين (حل المعادلات البسيطة):
1. 5س = 45 → س = 9
2. 9ص = 72 → ص = 8
3. س ÷ 6 = 7 → س = 42
4. 10 = ع ÷ 4 → ع = 40
5. س - 12 = 15 → س = 27
6. س + 9 = 22 → س = 13
حل المعادلات المتعددة الخطوات
خطوات حل المعادلات المتعددة الخطوات:
- نبسط طرفي المعادلة إذا لزم الأمر (نوزع، نجمع الحدود المتشابهة).
- نتخلص من عمليات الجمع أو الطرح أولاً (باستخدام العملية العكسية).
- نتخلص من عمليات الضرب أو القسمة ثانياً (باستخدام العملية العكسية).
أمثلة على حل معادلات متعددة الخطوات:
- 2س + 3 = 11 → 2س = 8 → س = 4
- 3س - 5 = 10 → 3س = 15 → س = 5
- 4ب + 7 = 23 → 4ب = 16 → ب = 4
- 5س + 6 = 26 → 5س = 20 → س = 4
- س/2 + 4 = 10 → س/2 = 6 → س = 12
- 6س - 8 = 28 → 6س = 36 → س = 6
تمرين: حل المعادلات التالية:
1. 2س + 7 = 15 → 2س = 8 → س = 4
2. 5س - 9 = 16 → 5س = 25 → س = 5
3. 3س + 11 = 32 → 3س = 21 → س = 7
4. 7س - 14 = 35 → 7س = 49 → س = 7
حل المعادلات ذات المتغير في طرفيها
خطوات الحل:
- نضيف أو نطرح المتغيرات من كلا الطرفين لتجميعها في طرف واحد.
- نضيف أو نطرح الأعداد من كلا الطرفين لتجميعها في الطرف الآخر.
- نقسم أو نضرب لإيجاد قيمة المتغير.
أمثلة:
- 2س + 3 = س + 7 → 2س - س = 7 - 3 → س = 4
- 3س - 5 = 2س + 10 → 3س - 2س = 10 + 5 → س = 15
- 4س + 8 = 2س + 16 → 4س - 2س = 16 - 8 → 2س = 8 → س = 4
- 5س - 3 = 2س + 12 → 5س - 2س = 12 + 3 → 3س = 15 → س = 5
تمرين: حل المعادلات التالية:
1. 4س + 5 = 2س + 13 → 4س - 2س = 13 - 5 → 2س = 8 → س = 4
2. 7س - 4 = 3س + 16 → 7س - 3س = 16 + 4 → 4س = 20 → س = 5
3. 6س + 2 = 4س + 18 → 6س - 4س = 18 - 2 → 2س = 16 → س = 8
4. 8س - 6 = 5س + 21 → 8س - 5س = 21 + 6 → 3س = 27 → س = 9
معادلات القيمة المطلقة
تعريف القيمة المطلقة (Absolute Value):
هي المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. يرمز لها بـ |س|.
قاعدة حل معادلات القيمة المطلقة |س| = أ (حيث أ > 0):
- س = أ أو س = -أ (للمعادلة حلان)
- إذا كانت أ < 0، فلا يوجد حل (لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة).
أمثلة على حل معادلات القيمة المطلقة:
- |س| = 5 ← س = 5 أو س = -5
- |س - 2| = 3 ← س - 2 = 3 أو س - 2 = -3 ← س = 5 أو س = -1
- |س + 1| = 4 ← س + 1 = 4 أو س + 1 = -4 ← س = 3 أو س = -5
- |ن - 1| = 5 ← ن - 1 = 5 أو ن - 1 = -5 ← ن = 6 أو ن = -4
تمرين (حل معادلات القيمة المطلقة):
1. |س| = 7 → س = 7 أو س = -7
2. |س + 3| = 8 → س + 3 = 8 أو س + 3 = -8 → س = 5 أو س = -11
3. |2س - 4| = 6 → 2س - 4 = 6 أو 2س - 4 = -6 → 2س = 10 أو 2س = -2 → س = 5 أو س = -1
4. |3س + 6| = 12 → 3س + 6 = 12 أو 3س + 6 = -12 → 3س = 6 أو 3س = -18 → س = 2 أو س = -6
5. |س - 4| = -2 → لا يوجد حل (القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة)
مسائل حياتية
تطبيق 1 (متعددة الخطوات):
إذا كان سعر 4 أقلام ودفتر 7 ريالات يساوي 23 ريالاً، فما سعر القلم الواحد إذا كان الدفتر يساوي 7 ريالات؟
الحل: 4س + 7 = 23 → 4س = 16 → س = 4 ريالات
تطبيق 2 (القيمة المطلقة - سعر السهم):
إذا كان سعر سهم شركة 30 ريالاً زائد أو ناقص 5 ريالات، فما هو أعلى وأدنى سعر؟
الحل: |س - 30| = 5 → س - 30 = 5 أو س - 30 = -5 ← س = 35 أو س = 25
أعلى سعر: 35 ريالاً، أدنى سعر: 25 ريالاً
تطبيق 3 (معادلة بسيطة):
إذا كان عمر أحمد يساوي ضعف عمر سارة، وكان مجموع عمريهما 30 سنة، فما عمر كل منهما؟
الحل: عمر سارة = س، عمر أحمد = 2س ← س + 2س = 30 → 3س = 30 → س = 10 سنوات (سارة)، عمر أحمد = 20 سنة
نموذج اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: حل المعادلة: 5س = 45
ج: س = 9
س2: حل المعادلة: س - 12 = 24
ج: س = 36
س3: حل المعادلة: 3س + 7 = 28
ج: 3س = 21 ← س = 7
س4: حل المعادلة: 4س + 3 = 2س + 15
ج: 4س - 2س = 15 - 3 → 2س = 12 ← س = 6
س5: حل المعادلة: |س - 5| = 7
ج: س - 5 = 7 أو س - 5 = -7 ← س = 12 أو س = -2
نموذج اختبار الفصل الأول
✅ نموذج الإجابات:
س1: حل المعادلة: 8س = 64
ج: س = 8
س2: حل المعادلة: س ÷ 7 = 9
ج: س = 63
س3: حل المعادلة: 2س + 9 = 25
ج: 2س = 16 ← س = 8
س4: حل المعادلة: 5س - 8 = 3س + 12
ج: 5س - 3س = 12 + 8 → 2س = 20 ← س = 10
س5: حل المعادلة: |2س - 3| = 9
ج: 2س - 3 = 9 أو 2س - 3 = -9 → 2س = 12 أو 2س = -6 → س = 6 أو س = -3
س6: تطبيق واقعي: إذا كان ثمن 5 كتب ودفتر بـ10 ريالات يساوي 60 ريالاً، فما ثمن الكتاب الواحد؟
ج: 5س + 10 = 60 → 5س = 50 ← س = 10 ريالات
