الفصل الثالث الجبر المعادلات اول متوسط الفصل الدراسي الاول

العبارة الجبرية (Algebraic Expression):
هي مجموعة من الأعداد والمتغيرات مرتبطة بعمليات حسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) ولا تحتوي على إشارة يساوي.

المعادلة (Equation):
هي جملة رياضية تحتوي على إشارة يساوي (=) ومتغير واحد أو أكثر.

تحويل الجمل اللفظية إلى عبارات جبرية:

• “زيادة س بمقدار 5” ← س + 5
• “نقص ص بمقدار 3” ← ص – 3
• “ضعف س” ← 2س
• “نصف ع” ← ع ÷ 2
• “يزيد عمر خالد عن عمر محمد بـ 4 سنوات” ← خ = م + 4

نشاط: اكتب عبارة جبرية أو معادلة لكل جملة مما يلي:
1. مجموع س و 8 ← س + 8
2. حاصل ضرب 5 في ص ← 5ص
3. عمر أحمد يساوي مثلي عمر علي ← أ = 2ع
4. سعر القلم يزيد عن سعر الدفتر بـ 3 ريالات ← ق = د + 3

العمليات العكسية:

• عملية الجمع عكسها عملية الطرح.
• عملية الطرح عكسها عملية الجمع.

قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):

• لحل المعادلة س + 5 = 12، نطرح 5 من كلا الطرفين: س + 5 – 5 = 12 – 5 ← س = 7
• لحل المعادلة س – 4 = 10، نضيف 4 إلى كلا الطرفين: س – 4 + 4 = 10 + 4 ← س = 14

أمثلة على حل المعادلات:

• س + 8 = 15 ← س = 15 – 8 = 7
• ص – 7 = 12 ← ص = 12 + 7 = 19
• أ + 12 = 20 ← أ = 20 – 12 = 8
• م – 5 = 9 ← م = 9 + 5 = 14

نشاط: حل المعادلات التالية:
1. ص + 9 = 21 → ص = 12
2. س – 6 = 18 → س = 24
3. 15 = ع + 7 → ع = 8
4. 14 = ك – 5 → ك = 19

العمليات العكسية:

• عملية الضرب عكسها عملية القسمة.
• عملية القسمة عكسها عملية الضرب.

قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):

• لحل المعادلة 3س = 18، نقسم كلا الطرفين على 3: (3س ÷ 3) = (18 ÷ 3) ← س = 6
• لحل المعادلة س ÷ 4 = 6، نضرب كلا الطرفين في 4: (س ÷ 4) × 4 = 6 × 4 ← س = 24

أمثلة على حل المعادلات:

• 4س = 20 ← س = 20 ÷ 4 = 5
• 7ص = 35 ← ص = 35 ÷ 7 = 5
• س ÷ 5 = 9 ← س = 9 × 5 = 45
• ع ÷ 8 = 7 ← ع = 7 × 8 = 56

نشاط: حل المعادلات التالية:
1. 5س = 45 → س = 9
2. 9ص = 72 → ص = 8
3. س ÷ 6 = 7 → س = 42
4. 10 = ع ÷ 4 → ع = 40

خطوات حل معادلة ذات خطوتين:

1. نتخلص من عملية الجمع أو الطرح أولاً (باستخدام العملية العكسية).
2. نتخلص من عملية الضرب أو القسمة ثانياً (باستخدام العملية العكسية).

أمثلة على حل معادلات ذات خطوتين:

• 2س + 3 = 11 → 2س + 3 – 3 = 11 – 3 → 2س = 8 → س = 8 ÷ 2 = 4
• 3س – 5 = 10 → 3س – 5 + 5 = 10 + 5 → 3س = 15 → س = 15 ÷ 3 = 5
• س/2 + 4 = 10 → س/2 + 4 – 4 = 10 – 4 → س/2 = 6 → س = 6 × 2 = 12

نشاط: حل المعادلات التالية:
1. 2س + 7 = 15 → 2س = 8 → س = 4
2. 4س – 3 = 13 → 4س = 16 → س = 4
3. 5س + 6 = 26 → 5س = 20 → س = 4
4. س/3 + 5 = 10 → س/3 = 5 → س = 15

قوانين المحيط والمساحة للأشكال الهندسية الأساسية:

• محيط المربع: ح = 4 × طول الضلع (ح = 4س)
• مساحة المربع: م = طول الضلع × نفسه (م = س²)
• محيط المستطيل: ح = 2 × (الطول + العرض) [ح = 2(ل + ع)]
• مساحة المستطيل: م = الطول × العرض (م = ل × ع)

تطبيقات جبرية:

• إذا كان طول ضلع مربع هو س، فمحيطه = 4س ومساحته = س².
• إذا كان طول المستطيل = س + 2 وعرضه = س – 1، فمحيطه = 2[(س+2)+(س-1)] = 4س + 2.

نشاط: أوجد محيط ومساحة المستطيل الذي طوله 8 سم وعرضه 5 سم.
ج: المحيط = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 سم
المساحة = 8 × 5 = 40 سم²

نشاط: إذا كان محيط مربع يساوي 20 سم، فما طول ضلعه؟
ج: 4س = 20 ← س = 20 ÷ 4 = 5 سم

تعريف الدالة (Function):
هي علاقة تربط كل مدخلة (س) بمخرجة واحدة فقط (ص).

خطوات تمثيل الدالة بيانياً:

1. إنشاء جدول لقيم س وص (المدخلات والمخرجات).
2. تحديد الأزواج المرتبة (س، ص) التي تحقق الدالة.
3. رسم النقاط على المستوى الإحداثي.
4. توصيل النقاط (إذا كانت الدالة خطية).

مثال: ص = س + 2

س	ص = س + 2	(س، ص)
-2	0	(-2,0)
-1	1	(-1,1)
0	2	(0,2)
1	3	(1,3)
2	4	(2,4)

نشاط: أكمل جدول الدالة ص = س – 3 ثم حدد الأزواج المرتبة.

س	ص = س – 3	(س، ص)
0	-3	(0,-3)
1	-2	(1,-2)
2	-1	(2,-1)
3	0	(3,0)
4	1	(4,1)

✅ نموذج الإجابات:

س1: اكتب معادلة تمثل “يزيد عمر أحمد عن عمر علي بـ 5 سنوات”.
ج: أ = ع + 5

س2: حل المعادلة: س + 9 = 17
ج: س = 8

س3: حل المعادلة: 5س = 40
ج: س = 8

س4: حل المعادلة: 2س + 5 = 13
ج: 2س = 8 ← س = 4

س5: إذا كان طول ضلع مربع هو س، فما محيطه ومساحته؟
ج: المحيط = 4س، المساحة = س²