العلاقات
تعريف العلاقة (Relation):
هي مجموعة من الأزواج المرتبة (س، ص) التي تربط بين عناصر مجموعتين.
طرق تمثيل العلاقات:
- الأزواج المرتبة: {(1,2), (2,4), (3,6)}
- الجدول: جدول يوضح قيم س وقيم ص
- المخطط السهمي: أسهم تربط بين عناصر المجال والمدى
- التمثيل البياني: رسم النقاط على المستوى الإحداثي
المجال والمدى (Domain and Range):
- المجال (Domain): مجموعة قيم س (المدخلات).
- المدى (Range): مجموعة قيم ص (المخرجات).
تمرين (تحديد المجال والمدى):
إذا كانت العلاقة {(1,2), (3,4), (5,6)} فإن:
المجال = {1, 3, 5}
المدى = {2, 4, 6}
تمرين: مثل العلاقة {(0,1), (1,3), (2,5), (3,7)} بطريقتين مختلفتين.
ج:
- الجدول:
- التمثيل البياني: النقاط (0,1), (1,3), (2,5), (3,7) على المستوى الإحداثي.
الدوال
تعريف الدالة (Function):
هي علاقة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى (لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط).
اختبار الخط الرأسي (Vertical Line Test):
إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني للدالة في أكثر من نقطة واحدة، فالعلاقة ليست دالة.
رمز الدالة (Function Notation):
نكتب الدالة على الصورة f(x) = 2x + 1، وتقرأ "f of x".
حساب قيم الدوال:
إذا كانت f(x) = 2x + 1، فأوجد:
- f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
- f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1
- f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
تمرين (تحديد الدالة):
هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).
تمرين (حساب قيم الدوال):
إذا كانت g(x) = 3x - 4، فأوجد:
1. g(2) = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2
2. g(5) = 3(5) - 4 = 15 - 4 = 11
3. g(0) = 3(0) - 4 = 0 - 4 = -4
تمثيل المعادلات الخطية بيانياً
الصورة القياسية للمعادلة الخطية (Standard Form):
أ س + ب ص = ج، حيث أ، ب، ج أعداد صحيحة، وأ ≠ 0.
المقطع السيني (x-intercept):
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور السيني (ص = 0).
المقطع الصادي (y-intercept):
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور الصادي (س = 0).
مثال: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 2س + 4ص = 8
- لإيجاد المقطع السيني: نضع ص = 0 → 2س = 8 → س = 4 ← النقطة (4,0)
- لإيجاد المقطع الصادي: نضع س = 0 → 4ص = 8 → ص = 2 ← النقطة (0,2)
تمرين: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلات التالية:
1. 3س + 2ص = 12 → سيني: (4,0) ، صادي: (0,6)
2. 5س - 3ص = 15 → سيني: (3,0) ، صادي: (0,-5)
3. س + 2ص = 6 → سيني: (6,0) ، صادي: (0,3)
تمرين: مثل المعادلة 3س + 4ص = 12 بيانياً
ج: المقطع السيني (4,0)، المقطع الصادي (0,3). نرسم النقطتين ونصل بينهما.
حل المعادلات الخطية بيانياً
جذر المعادلة (Root of the Equation):
هو قيمة المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.
صفر الدالة (Zero of the Function):
هو قيمة س التي تجعل f(x) = 0.
العلاقة بين حل المعادلة والتمثيل البياني:
جذر المعادلة هو المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة.
مثال: حل المعادلة 2س - 4 = 0 بيانياً
ج: نرسم الدالة f(x) = 2س - 4. المقطع السيني هو (2,0)، إذن الحل هو س = 2.
تمرين: حل المعادلات التالية بيانياً:
1. 3س - 6 = 0 ← س = 2
2. 4س + 8 = 0 ← س = -2
3. 5س - 10 = 0 ← س = 2
معدل التغير والميل
تعريف الميل (Slope):
هو مقياس لانحدار الخط المستقيم، ويمثل معدل التغير في قيم ص بالنسبة للتغير في قيم س.
قانون الميل بين نقطتين (س₁, ص₁) و (س₂, ص₂):
م = (ص₂ - ص₁) / (س₂ - س₁)
أنواع الميل:
- موجب: الخط يرتفع من اليسار إلى اليمين
- سالب: الخط ينخفض من اليسار إلى اليمين
- صفر: الخط أفقي (تغير ص = 0)
- غير معرف: الخط رأسي (تغير س = 0)
تمرين (إيجاد الميل بين نقطتين):
- النقطتان (2, 3) و (5, 7): م = (7 - 3)/(5 - 2) = 4/3 = 1.33
- النقطتان (-1, 2) و (3, 6): م = (6 - 2)/(3 - (-1)) = 4/4 = 1
- النقطتان (4, 5) و (4, 8): م = (8 - 5)/(4 - 4) = 3/0 = غير معرف (خط رأسي)
- النقطتان (2, 7) و (5, 7): م = (7 - 7)/(5 - 2) = 0/3 = 0 (خط أفقي)
تمرين إضافي: أوجد الميل للنقطتين (-3, 2) و (4, -5)
ج: م = (-5 - 2)/(4 - (-3)) = -7/7 = -1
نموذج اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: حدد المجال والمدى للعلاقة {(2,4), (4,8), (6,12)}
ج: المجال = {2, 4, 6}، المدى = {4, 8, 12}
س2: هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟ لماذا؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).
س3: إذا كانت f(x) = 4x - 3، فأوجد f(5).
ج: f(5) = 4(5) - 3 = 20 - 3 = 17
س4: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 3س + 6ص = 12
ج: سيني: (4,0)، صادي: (0,2)
س5: أوجد الميل بين النقطتين (1, 2) و (4, 8)
ج: م = (8 - 2)/(4 - 1) = 6/3 = 2
نموذج اختبار الفصل الثاني
✅ نموذج الإجابات:
س1: اكتب العلاقة {(0,2), (1,4), (2,6), (3,8)} في صورة جدول.
ج:
س2: هل التمثيل البياني الذي يقطع فيه الخط الرأسي أكثر من نقطة يمثل دالة؟
ج: لا، إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فالعلاقة ليست دالة.
س3: إذا كانت f(x) = 2x² - 3، فأوجد f(4).
ج: f(4) = 2(4)² - 3 = 2(16) - 3 = 32 - 3 =
29
س4: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 4س - 2ص = 8
ج: سيني: (2,0)، صادي: (0,-4)
س5: أوجد الميل بين النقطتين (-2, 3) و (4, -5)
ج: م = (-5 - 3)/(4 - (-2)) = -8/6 =
-4/3
س6: حل المعادلة 2س - 6 = 0 بيانياً
ج: س = 3
