التمثيل البياني
خطوات الحل بيانياً:
- ارسم كلا المستقيمين على نفس المستوى الإحداثي.
- حدد نقطة تقاطع المستقيمين.
- إحداثيات نقطة التقاطع (س، ص) تمثل الحل.
أنظمة المعادلات (أنواع الحلول):
- نظام متسق ومستقل: يتقاطع المستقيمان في نقطة واحدة ← حل واحد.
- نظام متسق وغير مستقل: المستقيمان منطبقان (نفس المستقيم) ← عدد لا نهائي من الحلول.
- نظام غير متسق: المستقيمان متوازيان (لا يتقاطعان) ← لا يوجد حل.
مثال: حل النظام بيانياً: س + ص = 5، س - ص = 1
الحل:
- المستقيم الأول: س + ص = 5 (يمر بالنقط (0,5) و (5,0))
- المستقيم الثاني: س - ص = 1 (يمر بالنقط (0,-1) و (1,0))
- نقطة التقاطع: (3, 2)
- الحل: س = 3، ص = 2
طريقة التعويض
خطوات الحل بالتعويض:
- احل إحدى المعادلتين لإحدى المتغيرين (اجعل المتغير لوحده في طرف).
- عوض عن هذا المتغير في المعادلة الأخرى.
- حل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة المتغير الأول.
- عوض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية لإيجاد قيمة المتغير الثاني.
مثال: حل النظام: ص = 2س، س + ص = 9
الحل:
- عوض عن ص في المعادلة الثانية: س + 2س = 9
- 3س = 9 ← س = 3
- عوض س = 3 في ص = 2س ← ص = 6
- الحل: س = 3، ص = 6
تمرين: حل النظام: 2س + ص = 7، ص = س - 2
ج: 2س + (س - 2) = 7 ← 3س - 2 = 7 ← 3س = 9 ← س = 3
ص = 3 - 2 = 1 ← الحل: (3, 1)
طريقة الحذف
مثال: حل النظام: س + ص = 5، س - ص = 1 (باستخدام الجمع)
الحل:
- نجمع المعادلتين: (س + ص) + (س - ص) = 5 + 1
- 2س = 6 ← س = 3
- عوض س = 3 في المعادلة الأولى: 3 + ص = 5 ← ص = 2
- الحل: (3, 2)
تمرين: حل النظام بالطرح: 3س + 2ص = 12، 3س - ص = 3
ج: نطرح المعادلتين: (3س+2ص) - (3س-ص) = 12 - 3
3ص = 9 ← ص = 3
3س + 2(3) = 12 ← 3س + 6 = 12 ← 3س = 6 ← س = 2
الحل: (2, 3)
مثال: حل النظام: 2س + 3ص = 8، س - 2ص = -3
الحل:
- نضرب المعادلة الثانية في 2: 2س - 4ص = -6
- نطرح المعادلتين: (2س+3ص) - (2س-4ص) = 8 - (-6)
- 7ص = 14 ← ص = 2
- عوض ص = 2 في 2س + 3(2) = 8 ← 2س + 6 = 8 ← 2س = 2 ← س = 1
- الحل: (1, 2)
مسألة واقعية (اشتراء أقلام ودفاتر):
"اشترى أحمد 3 أقلام ودفترين بـ 20 ريالاً، واشترى خالد قلماً واحداً ودفترين بـ 12 ريالاً. فما سعر القلم الواحد؟"
الحل:
- نفرض س = سعر القلم، ص = سعر الدفتر
- المعادلة الأولى: 3س + 2ص = 20
- المعادلة الثانية: س + 2ص = 12
- بطرح المعادلتين: (3س+2ص) - (س+2ص) = 20 - 12
- 2س = 8 ← س = 4
- سعر القلم = 4 ريالات
مسألة (العمر):
"عمر أب يساوي ثلاثة أضعاف عمر ابنه، ومجموع عمريهما 48 سنة. فكم عمر الابن؟"
الحل:
- نفرض س = عمر الأب، ص = عمر الابن
- س = 3ص
- س + ص = 48
- بالتعويض: 3ص + ص = 48 ← 4ص = 48 ← ص = 12
- عمر الابن = 12 سنة
