المتتابعات الحسابية
تعريف المتتابعة الحسابية (Arithmetic Sequence):
هي متتابعة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً. هذا الفرق يسمى الأساس (Common Difference - d).
قانون الحد النوني للمتتابعة الحسابية:
أⁿ = أ¹ + (ن - 1) × د
- أⁿ: الحد النوني (قيمة الحد في المرتبة ن)
- أ¹: الحد الأول للمتتابعة
- د: الأساس (الفرق الثابت بين الحدود)
- ن: رقم الحد (المرتبة)
إيجاد الأساس (د):
د = الحد الثاني - الحد الأول = الحد الثالث - الحد الثاني = ...
مثال 1: أوجد الحد العاشر في المتتابعة: 3، 5، 7، 9، ...
الحل:
- أ¹ = 3
- د = 5 - 3 = 2
- ن = 10
- أ¹⁰ = 3 + (10 - 1) × 2 = 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21
مثال 2: هل المتتابعة 2، 4، 8، 16، ... حسابية؟
ج: لا، لأن الفرق غير ثابت:
- 4 - 2 = 2
- 8 - 4 = 4
- 16 - 8 = 8
الأساس ليس ثابتاً، فهي ليست متتابعة حسابية بل هندسية.
تمرين: أوجد الحد الخامس عشر في المتتابعة: 5، 8، 11، 14، ...
ج: أ¹ = 5، د = 3، ن = 15
أ¹⁵ = 5 + (15 - 1) × 3 = 5 + 14 × 3 = 5 + 42 = 47
تمرين 2: أوجد الحد الأول إذا كان الحد السابع = 25 والأساس = 3
ج: أ⁷ = أ¹ + (7 - 1) × 3 = 25
أ¹ + 18 = 25 ← أ¹ = 7
تمرين 3: اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة: 2، 5، 8، 11، ...
ج: أ¹ = 2، د = 3
أⁿ = 2 + (ن - 1) × 3 = 2 + 3ن - 3 = 3ن - 1
تفسير التمثيلات البيانية
عناصر التمثيل البياني للدالة الخطية:
- الميل (Slope - m): يمثل معدل التغير. في سياق المسألة، قد يعني السرعة، معدل التكلفة، أو الاستهلاك اليومي.
- المقطع الصادي (y-intercept - b): قيمة المتغير عندما س = 0. يمثل القيمة الأولية أو نقطة البداية.
- المقطع السيني (x-intercept): قيمة س عندما ص = 0. يمثل نقطة التعادل أو وقت انتهاء شيء ما.
تحليل الرسم البياني في مواقف واقعية:
- إذا كان المقطع الصادي يمثل "سعر الجهاز الأصلي" والميل يمثل "الاستهلاك الشهري"، فإن هبوط الخط المستقيم يعني تناقص قيمة الجهاز مع مرور الزمن.
- إذا كان الميل موجباً، فهذا يعني زيادة في القيمة.
- إذا كان الميل سالباً، فهذا يعني نقصان في القيمة.
- إذا كان الميل صفراً، فهذا يعني ثبات القيمة.
مثال تطبيقي 1:
إذا كان الرسم البياني يمثل قيمة سيارة متناقصة بمعدل 5000 ريال سنوياً، وكانت قيمتها الابتدائية 80000 ريال.
ج:
- المقطع الصادي = 80000 (القيمة الابتدائية)
- الميل = -5000 (الانخفاض السنوي)
- المعادلة: ص = -5000س + 80000
- بعد 5 سنوات: ص = -5000(5) + 80000 = 55000 ريال
مثال تطبيقي 2:
إذا كان الرسم البياني يمثل المسافة المقطوعة بسيارة بسرعة ثابتة 60 كم/ساعة، وانطلقت من نقطة البداية (0).
ج:
- المقطع الصادي = 0 (نقطة البداية)
- الميل = 60 (السرعة)
- المعادلة: ص = 60س
- بعد 3 ساعات: ص = 60 × 3 = 180 كم
تمرين (تحليل الرسم البياني):
إذا كان الخط المستقيم يمثل انخفاض درجة الحرارة بمعدل 2 درجة كل ساعة، وكانت درجة الحرارة الابتدائية 30 درجة.
ج:
- المعادلة: د = -2س + 30
- درجة الحرارة بعد 5 ساعات: د = -2(5) + 30 = 20 درجة
- بعد كم ساعة تصبح درجة الحرارة 0؟ 0 = -2س + 30 ← 2س = 30 ← س = 15 ساعة
تمارين تطبيقية
✅ نموذج الإجابات:
س1: أوجد الحد العشرين في المتتابعة: 4، 7، 10، 13، ...
ج: أ¹ = 4، د = 3، ن = 20
أ²⁰ = 4 + (20 - 1) × 3 = 4 + 57 = 61
س2: اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة: 1، 4، 7، 10، ...
ج: أ¹ = 1، د = 3
أⁿ = 1 + (ن - 1) × 3 = 1 + 3ن - 3 = 3ن - 2
س3: هل المتتابعة 1، 4، 9، 16، ... حسابية؟
ج: لا، الفروق: 3، 5، 7 (غير ثابتة)
س4: إذا كان المقطع الصادي يمثل رأس المال الأولي (10000 ريال) والميل (500 ريال) يمثل الربح الشهري، فما المعادلة؟
ج: ص = 500س + 10000
س5: في المسألة السابقة، كم يصبح المبلغ بعد 6 أشهر؟
ج: ص = 500 × 6 + 10000 = 3000 + 10000 = 13000 ريال
س6: إذا كان الخط المستقيم في الرسم البياني ينخفض من (0, 100) إلى (5, 0)، فما ميله؟
ج: م = (0 - 100)/(5 - 0) = -100/5 = -20
(يعني انخفاضاً بمعدل 20 وحدة كل سنة)
