الفصل التاسع جمع الكسور وطرحها رياضيات

مراجعة سريعة:

• تبسيط الكسور: نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ).
• توحيد المقامات: نوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامات، ثم نضرب كل كسر في العدد المناسب ليصبح مقامه مساوياً للمقام الموحد.

تمارين مراجعة:

1. بسط الكسر 4/8: ______
2. بسط الكسر 6/9: ______
3. أوجد م.م.أ (4، 6): ______
4. أوجد م.م.أ (3، 5): ______

الإجابة: 1/2 / 2/3 / 12 / 15

قاعدة جمع الكسور المتشابهة: نجمع البسطين، ونبقي المقام كما هو.

أمثلة:

• 1/4 + 2/4 = (1+2)/4 = 3/4
• 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7
• 4/9 + 3/9 = 7/9
• 5/12 + 7/12 = 12/12 = 1

تمرين (تأكد وتدرب):

1. 1/5 + 2/5 = ______
2. 2/8 + 3/8 = ______
3. 3/10 + 4/10 = ______
4. 6/11 + 4/11 = ______

الإجابة: 3/5 / 5/8 / 7/10 / 10/11

قاعدة طرح الكسور المتشابهة: نطرح البسطين، ونبقي المقام كما هو.

أمثلة:

• 3/4 – 1/4 = (3-1)/4 = 2/4 = 1/2
• 5/7 – 2/7 = (5-2)/7 = 3/7
• 8/9 – 3/9 = 5/9
• 7/10 – 3/10 = 4/10 = 2/5

تمرين (تأكد وتدرب):

1. 4/6 – 1/6 = ______
2. 7/9 – 2/9 = ______
3. 9/12 – 5/12 = ______
4. 10/15 – 4/15 = ______

الإجابة: 3/6 = 1/2 / 5/9 / 4/12 = 1/3 / 6/15 = 2/5

نشاط عملي: استخدم نماذج الكسور (دوائر أو مستطيلات مقسمة) لتجمع 1/2 + 1/4.

• ارسم دائرة مقسمة إلى نصفين. جزء واحد = 1/2.
• ارسم دائرة مقسمة إلى أرباع. جزء واحد = 1/4.
• لاحظ أن 1/2 = 2/4. إذن 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.

خطوات جمع الكسور غير المتشابهة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين ليكون المقام المشترك.
2. حوّل كلاً من الكسرين إلى كسر مكافئ له مقام يساوي المقام المشترك.
3. اجمع البسطين واكتب الناتج على المقام المشترك.
4. بسط الناتج (إذا أمكن).

أمثلة توضيحية:

• 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
• 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12
• 2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15
• 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8

تمرين (تأكد وتدرب):

1. 1/3 + 1/6 = ______
2. 1/4 + 3/8 = ______
3. 2/5 + 1/10 = ______
4. 3/4 + 1/6 = ______
5. 2/7 + 1/3 = ______

الإجابة: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 / 2/8 + 3/8 = 5/8 / 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2 / 9/12 + 2/12 = 11/12 / 6/21 + 7/21 = 13/21

نشاط عملي: استخدم نماذج الكسور لتطرح 1/2 – 1/4.

• ارسم مستطيلاً مقسماً إلى نصفين. ظلل نصفه (1/2).
• 1/2 = 2/4. ازل ربعاً واحداً (1/4).
• الجزء المتبقي = 1/4.
• إذن 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4.

خطوات طرح الكسور غير المتشابهة:

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين ليكون المقام المشترك.
2. حوّل كلاً من الكسرين إلى كسر مكافئ له مقام يساوي المقام المشترك.
3. اطرح البسطين واكتب الناتج على المقام المشترك.
4. بسط الناتج (إذا أمكن).

أمثلة توضيحية:

• 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4
• 2/3 – 1/6 = 4/6 – 1/6 = 3/6 = 1/2
• 3/4 – 1/3 = 9/12 – 4/12 = 5/12
• 5/6 – 1/2 = 5/6 – 3/6 = 2/6 = 1/3

تمرين (تأكد وتدرب):

1. 1/2 – 1/3 = ______
2. 3/4 – 1/8 = ______
3. 5/6 – 1/3 = ______
4. 2/3 – 1/4 = ______
5. 7/8 – 1/2 = ______

الإجابة: 3/6 – 2/6 = 1/6 / 6/8 – 1/8 = 5/8 / 5/6 – 2/6 = 3/6 = 1/2 / 8/12 – 3/12 = 5/12 / 7/8 – 4/8 = 3/8

استراتيجية الحل عكسياً: نبدأ من النتيجة النهائية ونعمل بالعكس خطوة بخطوة باستخدام العمليات العكسية (الجمع عكس الطرح، والطرح عكس الجمع، والضرب عكس القسمة، والقسمة عكس الضرب).

مثال توضيحي:

فكرت في عدد، أضفت إليه 2/5 فكان الناتج 4/5. ما هو العدد الذي فكرت به؟

الحل: نبدأ من النتيجة 4/5، ونطرح 2/5 (عملية عكس الجمع): 4/5 – 2/5 = 2/5. العدد هو 2/5.

تمرين (تطبق خطة الحل عكسياً):

1. فكرت في عدد، أضفت إليه 1/3 فكان الناتج 2/3. ما هو العدد؟
2. فكرت في عدد، طرحت منه 1/4 فكان الناتج 1/2. ما هو العدد؟
3. فكرت في عدد، أضفت إليه 3/8 فكان الناتج 7/8. ما هو العدد؟

الإجابة: 2/3 – 1/3 = 1/3 / 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 / 7/8 – 3/8 = 4/8 = 1/2

سؤال 1 (جمع كسور متشابهة): 3/7 + 2/7 = ______
الإجابة: 5/7

سؤال 2 (طرح كسور متشابهة): 8/9 – 4/9 = ______
الإجابة: 4/9

سؤال 3 (جمع كسور غير متشابهة): 1/2 + 1/5 = ______
الإجابة: 5/10 + 2/10 = 7/10

سؤال 4 (طرح كسور غير متشابهة): 2/3 – 1/4 = ______
الإجابة: 8/12 – 3/12 = 5/12

اكتشف الخطأ: قام طالب بجمع 1/2 + 1/3 = 2/5. هل هذا صحيح؟ صحح الخطأ.
الإجابة: خطأ، الصواب هو 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.

مسألة مفتوحة: اكتب كسرين غير متشابهين مجموعهما 2/3.
الإجابة (أمثلة): 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3، أو 1/3 + 1/3 = 2/3 (هذا متشابه).

تحدي: اكتب كسرين غير متشابهين الفرق بينهما 1/6.
الإجابة (أمثلة): 1/2 – 1/3 = 3/6 – 2/6 = 1/6.

مسائل حياتية واقعية:

1. أكل أحمد 1/4 من الفطيرة، وأكلت سارة 2/4 من الفطيرة. ما الكسر الذي أكلاه معاً وما الكسر المتبقي؟
2. مع سلمى 3/4 متر من القماش، استعملت 1/2 متر لخياطة فستان. كم بقي معها؟
3. في حصة الرياضة، ركض طالب مسافة 1/3 كيلومتر، ثم ركض 1/2 كيلومتر. كم المسافة الكلية التي ركضها؟
4. ملأ أحمد 2/5 خزان الماء، ثم أضاف 1/10 أخرى. ما مقدار الماء في الخزان؟

الإجابة:
1. 1/4 + 2/4 = 3/4 (أكلوا معاً)، المتبقي 1/4
2. 3/4 – 1/2 = 3/4 – 2/4 = 1/4 متر
3. 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6 كيلومتر
4. 2/5 + 1/10 = 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. ناتج 1/4 + 2/4 = ______ (أ) 3/8 (ب) 3/4 (ج) 1/2 (د) 1/4)
2. ناتج 2/3 – 1/3 = ______ (أ) 1/3 (ب) 2/3 (ج) 1/2 (د) 3/3)
3. ناتج 1/2 + 1/4 = ______ (أ) 2/6 (ب) 3/4 (ج) 1/6 (د) 2/4)
4. ناتج 3/4 – 1/2 = ______ (أ) 1/2 (ب) 1/4 (ج) 1/3 (د) 1/8)

الإجابة: ب / أ / ب / ب

سؤال 2 (أكمل الفراغات):

1. 1/5 + 3/5 = ______
2. 7/8 – 3/8 = ______
3. 2/3 + 1/6 = ______
4. 3/4 – 2/5 = ______

الإجابة: 4/5 / 4/8 = 1/2 / 4/6 + 1/6 = 5/6 / 15/20 – 8/20 = 7/20

سؤال 3 (مسألة لفظية): قطعة أرض زراعية، زرع المزارع 1/3 من الأرض قمحاً، وزرع 1/4 من الأرض شعيراً. ما الكسر المتبقي من الأرض غير مزروع؟
الإجابة: ما زرعه = 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12، المتبقي = 1 – 7/12 = 12/12 – 7/12 = 5/12

سؤال 1 (ضرب كسور): 2/3 × 3/4 = ______
الإجابة: 6/12 = 1/2

سؤال 2 (قسمة كسور): 1/2 ÷ 1/3 = ______
الإجابة: 1/2 × 3/1 = 3/2 = 1 1/2

سؤال 3 (جمع كسور غير متشابهة): 2/5 + 1/2 = ______
الإجابة: 4/10 + 5/10 = 9/10

سؤال 4 (طرح كسور غير متشابهة): 5/6 – 1/4 = ______
الإجابة: 10/12 – 3/12 = 7/12

سؤال 5 (مسألة لفظية مركبة): قطع سعيد مسافة 2/5 كيلومتر مشياً، ثم قطع 1/3 كيلومتر بالسيارة. كم المسافة الكلية التي قطعها؟ ثم إذا كان مجموع المسافة التي يجب أن يقطعها 1 كيلومتر، فكم تبقى له؟
الإجابة: 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15 كيلومتر، المتبقي = 1 – 11/15 = 15/15 – 11/15 = 4/15 كيلومتر