الدرس الأول: الجذور التربيعية
الفكرة الرئيسية: إيجاد الجذور التربيعية للمربعات الكاملة، والتعرف على رمز الجذر.
الجذور التربيعية
تعريف الجذر التربيعي (Square Root):
الجذر التربيعي للعدد أ هو العدد الذي إذا ضرب في نفسه يعطي أ.
الرمز: √ (رمز الجذر التربيعي).
مثال: √9 = 3 لأن 3 × 3 = 9.
الرمز: √ (رمز الجذر التربيعي).
مثال: √9 = 3 لأن 3 × 3 = 9.
المربعات الكاملة (Perfect Squares):
هي نواتج ضرب الأعداد الصحيحة في نفسها.
الأعداد: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...
الأعداد: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...
خصائص الجذور التربيعية:
- √(أ × ب) = √أ × √ب
- √(أ ÷ ب) = √أ ÷ √ب (ب ≠ 0)
- √(أ²) = |أ|
- الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.
تأكد (تمارين الجذور):
1. √64 = 8 (لأن 8 × 8 = 64)
2. √121 = 11 (لأن 11 × 11 = 121)
3. √169 = 13 (لأن 13 × 13 = 169)
4. √225 = 15 (لأن 15 × 15 = 225)
5. √49 = 7
6. √100 = 10
1. √64 = 8 (لأن 8 × 8 = 64)
2. √121 = 11 (لأن 11 × 11 = 121)
3. √169 = 13 (لأن 13 × 13 = 169)
4. √225 = 15 (لأن 15 × 15 = 225)
5. √49 = 7
6. √100 = 10
تدرب وحل المسائل:
1. √81 + √36 = 9 + 6 = 15
2. √144 - √25 = 12 - 5 = 7
3. √(16 × 4) = √64 = 8
4. √(100 ÷ 25) = √4 = 2
1. √81 + √36 = 9 + 6 = 15
2. √144 - √25 = 12 - 5 = 7
3. √(16 × 4) = √64 = 8
4. √(100 ÷ 25) = √4 = 2
الدرس الثاني: تقدير الجذور التربيعية
الفكرة الرئيسية: تقدير قيم الجذور الصماء (الأعداد التي ليست مربعات كاملة) إلى أقرب عدد كلي أو جزء من عشرة بدون آلة حاسبة.
تقدير الجذور التربيعية
الجذور الصماء (Irrational Square Roots):
هي جذور الأعداد التي ليست مربعات كاملة، مثل: √2، √3، √5، √10.
طريقة تقدير الجذر التربيعي:
نحدد المربعين الكاملين الأصغر والأكبر من العدد المطلوب، ثم نحدد موقع الجذر بينهما.
أمثلة على تقدير الجذور التربيعية:
- تقدير √50: 49 < 50 < 64 → √49 < √50 < √64 → 7 < √50 < 8 → √50 ≈ 7.07 (قريب من 7.1)
- تقدير √20: 16 < 20 < 25 → 4 < √20 < 5 → √20 ≈ 4.47 (قريب من 4.5)
- تقدير √10: 9 < 10 < 16 → 3 < √10 < 4 → √10 ≈ 3.16
- تقدير √2: 1 < 2 < 4 → 1 < √2 < 2 → √2 ≈ 1.414
تأكد (تقدير الجذور الصماء):
1. √30: 25 < 30 < 36 → 5 < √30 < 6 → √30 ≈ 5.48
2. √70: 64 < 70 < 81 → 8 < √70 < 9 → √70 ≈ 8.37
3. √15: 9 < 15 < 16 → 3 < √15 < 4 → √15 ≈ 3.87
4. √90: 81 < 90 < 100 → 9 < √90 < 10 → √90 ≈ 9.49
1. √30: 25 < 30 < 36 → 5 < √30 < 6 → √30 ≈ 5.48
2. √70: 64 < 70 < 81 → 8 < √70 < 9 → √70 ≈ 8.37
3. √15: 9 < 15 < 16 → 3 < √15 < 4 → √15 ≈ 3.87
4. √90: 81 < 90 < 100 → 9 < √90 < 10 → √90 ≈ 9.49
مسائل مهارات التفكير العليا:
إذا كانت √س بين 8 و 9، فما قيم س الممكنة؟
ج: 64 < س < 81 (أي س > 64 وأقل من 81)
إذا كانت √س بين 8 و 9، فما قيم س الممكنة؟
ج: 64 < س < 81 (أي س > 64 وأقل من 81)
الدرس الثالث: الأعداد الحقيقية
الفكرة الرئيسية: تصنيف الأعداد إلى (نسبية، غير نسبية، صحيحة، كلية) ومقارنتها وترتيبها على خط الأعداد.
الأعداد الحقيقية وتصنيفها
مجموعات الأعداد (تسلسل هرمي):
- الأعداد الطبيعية (Natural Numbers): N = {1, 2, 3, 4, ...}
- الأعداد الكلية (Whole Numbers): W = {0, 1, 2, 3, ...}
- الأعداد الصحيحة (Integers): Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
- الأعداد النسبية (Rational Numbers): Q = {أ/ب : أ، ب أعداد صحيحة، ب ≠ 0}
- الأعداد غير النسبية (Irrational Numbers): أعداد لا يمكن كتابتها على صورة كسر (مثل: π، √2، √3).
- الأعداد الحقيقية (Real Numbers): R = الأعداد النسبية ∪ الأعداد غير النسبية.
تمارين التصنيف (جداول تحديد مجموعات الأعداد):
| العدد | طبيعي | كلي | صحيح | نسبي | غير نسبي | حقيقي |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | ||||||
| 0 | ||||||
| -3 | ||||||
| 1/2 | ||||||
| √2 |
مقارنة الأعداد الحقيقية وترتيبها على خط الأعداد:
- مقارنة: 2.5 و √6 (√6 ≈ 2.449) ← 2.5 > √6
- مقارنة: 1/3 و 0.333... ← 1/3 = 0.333...
- ترتيب تصاعدي: -2، 0.5، √2، π ← -2 < 0.5 < 1.414 < 3.14
الدرس الرابع: نظرية فيثاغورس
الفكرة الرئيسية: العلاقة بين طولي ساقي المثلث القائم الزاوية وطول وتره (أ² + ب² = ج²).
نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس (Pythagorean Theorem):
في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين.
الصيغة: أ² + ب² = ج²
حيث ج هو الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم، مقابل الزاوية القائمة).
أ و ب هما ساقا المثلث (الضلعان الآخران).
الصيغة: أ² + ب² = ج²
حيث ج هو الوتر (أطول ضلع في المثلث القائم، مقابل الزاوية القائمة).
أ و ب هما ساقا المثلث (الضلعان الآخران).
تمارين فيثاغورس (إيجاد الضلع المجهول):
- مثال 1: إذا كان أ = 3، ب = 4، فجد ج.
الحل: ج² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ← ج = √25 = 5 - مثال 2: إذا كان ج = 10، ب = 6، فجد أ.
الحل: أ² = ج² - ب² = 100 - 36 = 64 ← أ = √64 = 8 - مثال 3: إذا كان أ = 5، ج = 13، فجد ب.
الحل: ب² = ج² - أ² = 169 - 25 = 144 ← ب = √144 = 12
عكس نظرية فيثاغورس (التحقق مما إذا كانت ثلاث أطوال تشكل مثلثاً قائماً):
إذا تحققت المعادلة أ² + ب² = ج²، فإن المثلث قائم الزاوية.
مثال: هل الأطوال (5، 12، 13) تشكل مثلثاً قائماً؟
ج: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ← نعم، مثلث قائم
مثال: هل الأطوال (5، 12، 13) تشكل مثلثاً قائماً؟
ج: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ← نعم، مثلث قائم
تأكد (إيجاد الضلع المجهول):
1. أ = 6، ب = 8 ← ج = √(36+64) = √100 = 10
2. أ = 9، ج = 15 ← ب = √(225-81) = √144 = 12
3. ب = 24، ج = 26 ← أ = √(676-576) = √100 = 10
4. أ = 7، ب = 24 ← ج = √(49+576) = √625 = 25
1. أ = 6، ب = 8 ← ج = √(36+64) = √100 = 10
2. أ = 9، ج = 15 ← ب = √(225-81) = √144 = 12
3. ب = 24، ج = 26 ← أ = √(676-576) = √100 = 10
4. أ = 7، ب = 24 ← ج = √(49+576) = √625 = 25
الدرس الخامس: تطبيقات على نظرية فيثاغورس
الفكرة الرئيسية: حل مسائل حياتية وواقعية (مثل إيجاد ارتفاع سلم أو مسافة قصيرة بين نقطتين).
تطبيقات حياتية
مسائل تطبيقية محلولة:
- سلم: سلم طوله 5 أمتار، أسفل السلم يبعد 3 أمتار عن حائط. ما ارتفاع قمة السلم عن الأرض؟
ج: ج² = أ² + ب² → 5² = 3² + ع² ← 25 = 9 + ع² ← ع² = 16 ← ع = 4 أمتار - شاشة تلفاز: شاشة تلفاز عرضها 16 بوصة وارتفاعها 12 بوصة. ما طول قطر الشاشة؟
ج: ق² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400 ← ق = √400 = 20 بوصة - حديقة: حديقة مستطيلة طولها 12 متراً وعرضها 5 أمتار. ما المسافة بين زاويتين متقابلتين؟
ج: ق² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 ← ق = √169 = 13 متراً
تدرب وحل المسائل الحياتية:
1. طائرة ورقية مربوطة بخيط طوله 10 أمتار، رأسها على ارتفاع 6 أمتار. كم بعد الصبي عن قاعدة الطائرة؟
ج: ب² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ← ب = 8 أمتار
2. ملعب كرة قدم مستطيل طوله 100 متر وعرضه 60 متراً. كم المسافة بين قائمتي المرمى المتقابلتين؟
ج: ق² = 100² + 60² = 10000 + 3600 = 13600 ← ق = √13600 ≈ 116.62 متراً
1. طائرة ورقية مربوطة بخيط طوله 10 أمتار، رأسها على ارتفاع 6 أمتار. كم بعد الصبي عن قاعدة الطائرة؟
ج: ب² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ← ب = 8 أمتار
2. ملعب كرة قدم مستطيل طوله 100 متر وعرضه 60 متراً. كم المسافة بين قائمتي المرمى المتقابلتين؟
ج: ق² = 100² + 60² = 10000 + 3600 = 13600 ← ق = √13600 ≈ 116.62 متراً
الدرس السادس: الأبعاد في المستوى الإحداثي
الفكرة الرئيسية: تمثيل النقاط واستعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي.
المسافة بين نقطتين
قانون المسافة بين نقطتين (Distance Formula):
المسافة د بين النقطتين (س₁، ص₁) و (س₂، ص₂) هي:
د = √[(س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²]
د = √[(س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²]
شرح القانون (مشتق من نظرية فيثاغورس):
الفرق في الإحداثي السيني يمثل أحد ساقي المثلث (Δس = س₂ - س₁).
الفرق في الإحداثي الصادي يمثل الساق الأخرى (Δص = ص₂ - ص₁).
المسافة هي طول الوتر.
الفرق في الإحداثي الصادي يمثل الساق الأخرى (Δص = ص₂ - ص₁).
المسافة هي طول الوتر.
أمثلة على المسافة بين نقطتين:
- المسافة بين (2, 3) و (5, 7):
د = √[(5-2)² + (7-3)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5 وحدات - المسافة بين (-1, -2) و (3, 1):
د = √[(3+1)² + (1+2)²] = √[4² + 3²] = √(16 + 9) = √25 = 5 وحدات - المسافة بين (0, 0) و (a, b):
د = √[(a-0)² + (b-0)²] = √(أ² + ب²)
تأكد (حساب المسافة بين نقطتين):
1. احسب المسافة بين (1, 2) و (4, 6):
د = √[(4-1)² + (6-2)²] = √(3² + 4²) = √25 = 5 وحدات
2. احسب المسافة بين (-2, -1) و (2, 2):
د = √[(2+2)² + (2+1)²] = √(4² + 3²) = √25 = 5 وحدات
3. احسب المسافة بين (3, 5) و (7, 8):
د = √[(7-3)² + (8-5)²] = √(4² + 3²) = √25 = 5 وحدات
1. احسب المسافة بين (1, 2) و (4, 6):
د = √[(4-1)² + (6-2)²] = √(3² + 4²) = √25 = 5 وحدات
2. احسب المسافة بين (-2, -1) و (2, 2):
د = √[(2+2)² + (2+1)²] = √(4² + 3²) = √25 = 5 وحدات
3. احسب المسافة بين (3, 5) و (7, 8):
د = √[(7-3)² + (8-5)²] = √(4² + 3²) = √25 = 5 وحدات
تمارين المستوى الإحداثي (رسم مثلث قائم):
باستخدام النقاط (0,0)، (3,0)، (3,4)، يمكن حساب المسافة بين (0,0) و (3,4):
د = √(3² + 4²) = 5 وحدات
د = √(3² + 4²) = 5 وحدات
اختبار منتصف الفصل
نموذج الإجابات:
س1: أحسب √144
ج: 12
س2: قدر √35 إلى أقرب عدد صحيح.
ج: 25 < 35 < 36 → 5 < √35 < 6 → √35 ≈ 6
س3: صنف العدد √25 إلى أعداد (طبيعي، كلي، صحيح، نسبي).
ج: √25 = 5 ← طبيعي، كلي، صحيح، نسبي.
س4: في مثلث قائم، أ = 5، ب = 12، فجد ج.
ج: ج² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ← ج = 13
س5: احسب المسافة بين النقطتين (1, 2) و (4, 6).
ج: د = √[(4-1)² + (6-2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
س1: أحسب √144
ج: 12
س2: قدر √35 إلى أقرب عدد صحيح.
ج: 25 < 35 < 36 → 5 < √35 < 6 → √35 ≈ 6
س3: صنف العدد √25 إلى أعداد (طبيعي، كلي، صحيح، نسبي).
ج: √25 = 5 ← طبيعي، كلي، صحيح، نسبي.
س4: في مثلث قائم، أ = 5، ب = 12، فجد ج.
ج: ج² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ← ج = 13
س5: احسب المسافة بين النقطتين (1, 2) و (4, 6).
ج: د = √[(4-1)² + (6-2)²] = √(9 + 16) = √25 = 5
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
نموذج الإجابات:
س1: أحسب √625
ج: 25
س2: قدر √82 إلى أقرب جزء من عشرة.
ج: 81 < 82 < 100 → 9 < √82 < 10 → √82 ≈ 9.06
س3: صنف العدد √50.
ج: عدد غير نسبي، حقيقي.
س4: هل الأطوال (8، 15، 17) تشكل مثلثاً قائماً؟
ج: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ← نعم، مثلث قائم
س5: سلم طوله 17 متراً، أسفل السلم يبعد 8 أمتار عن الحائط. ما ارتفاع قمة السلم؟
ج: ع² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225 ← ع = √225 = 15 متراً
س6: احسب المسافة بين (-2, -3) و (4, 5).
ج: د = √[(4+2)² + (5+3)²] = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 وحدات
س7: مسألة مهارات تفكير عليا (اكتشف الخطأ):
قال طالب أن √(64 + 36) = √64 + √36 = 8 + 6 = 14. هل هذا صحيح؟
ج: خطأ، لأن √(64 + 36) = √100 = 10، وليس 14. √(أ + ب) لا تساوي √أ + √ب.
س1: أحسب √625
ج: 25
س2: قدر √82 إلى أقرب جزء من عشرة.
ج: 81 < 82 < 100 → 9 < √82 < 10 → √82 ≈ 9.06
س3: صنف العدد √50.
ج: عدد غير نسبي، حقيقي.
س4: هل الأطوال (8، 15، 17) تشكل مثلثاً قائماً؟
ج: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ← نعم، مثلث قائم
س5: سلم طوله 17 متراً، أسفل السلم يبعد 8 أمتار عن الحائط. ما ارتفاع قمة السلم؟
ج: ع² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225 ← ع = √225 = 15 متراً
س6: احسب المسافة بين (-2, -3) و (4, 5).
ج: د = √[(4+2)² + (5+3)²] = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 وحدات
س7: مسألة مهارات تفكير عليا (اكتشف الخطأ):
قال طالب أن √(64 + 36) = √64 + √36 = 8 + 6 = 14. هل هذا صحيح؟
ج: خطأ، لأن √(64 + 36) = √100 = 10، وليس 14. √(أ + ب) لا تساوي √أ + √ب.
ملخص تصنيف الأعداد
| المجموعة | الوصف | أمثلة |
|---|---|---|
| طبيعي (ℕ) | أعداد العد الإيجابية | 1, 2, 3, 4, ... |
| كلي (𝕎) | طبيعي + صفر | 0, 1, 2, 3, ... |
| صحيح (ℤ) | كلي + الأعداد السالبة | ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... |
| نسبي (ℚ) | أ/ب حيث ب ≠ 0 | 1/2, -3/4, 0.75, 0.333... |
| غير نسبي (ℚ') | لا يمكن كتابته على صورة كسر | π, √2, √3, e |
| حقيقي (ℝ) | نسبي ∪ غير نسبي | جميع الأعداد السابقة |