الفصل السابع الإحصاء والاحتمال رياضيات بالشرح

تمارين مراجعة:

1. أوجد مجموع الأعداد التالية: 12، 15، 18، 21 = ______
2. كم عدد الأرقام في المجموعة: 5، 7، 9، 11، 13؟ عددها = ______
3. رتب الأعداد تصاعدياً: 25، 17، 30، 12، 28 → ______

الإجابة: 66 / 5 أرقام / 12، 17، 25، 28، 30

المتوسط الحسابي (Mean): هو مجموع القيم مقسوماً على عددها.

القانون: المتوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عدد القيم

مثال: أوجد المتوسط الحسابي للأعداد: 4، 6، 8، 10
مجموع القيم = 4 + 6 + 8 + 10 = 28
عدد القيم = 4
المتوسط = 28 ÷ 4 = 7

الوسيط (Median): هو القيمة الوسطى في مجموعة البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً.

طريقة إيجاده:

• رتب البيانات تصاعدياً.
• إذا كان عدد البيانات فردياً: الوسيط هو القيمة التي في المنتصف.
• إذا كان عدد البيانات زوجياً: الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيتين.

مثال (فردي): الأعداد: 3، 5، 7، 9، 11 ← الوسيط = 7 (القيمة الثالثة)

مثال (زوجي): الأعداد: 4، 8، 12، 16 ← الوسيط = (8 + 12) ÷ 2 = 10

المنوال (Mode): هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات. قد يكون هناك منوال واحد أو أكثر أو لا يوجد منوال.

أمثلة:

• الأعداد: 2، 4، 4، 6، 8 ← المنوال = 4
• الأعداد: 1، 3، 5، 7، 9 ← لا يوجد منوال (كل القيم مرة واحدة)
• الأعداد: 2، 4، 4، 6، 6، 8 ← المنوالان = 4 و 6

تمرين (تأكد وتدرب): أوجد المتوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال للبيانات التالية:
(12، 15، 15، 18، 20، 22)
الإجابة:
1. المتوسط = (12+15+15+18+20+22) ÷ 6 = 102 ÷ 6 = 17
2. الوسيط = (15+18) ÷ 2 = 33 ÷ 2 = 16.5
3. المنوال = 15

استراتيجيات حل المسائل:

• التخمين والتحقق (Guess and Check): نبدأ بتخمين معقول ثم نتحقق من صحته، ونعدل التخمين حتى نصل إلى الحل الصحيح.
• إنشاء جدول (Make a Table): ننظم البيانات في جدول لتسهيل المقارنة وإيجاد الأنماط.
• الرسم (Draw a Picture): نرسم شكلاً لتوضيح المسألة.
• البحث عن نمط (Look for a Pattern): نلاحظ العلاقة بين الأعداد المتتالية لتوقع القادم.

تمرين (اختر الخطة المناسبة ثم حل):

ثلاثة أعداد متتالية مجموعها 36. ما هي هذه الأعداد؟

الحل (باستخدام التخمين والتحقق أو البحث عن نمط):
11 + 12 + 13 = 36. الأعداد هي: 11، 12، 13.

ما هو التمثيل بالأعمدة؟ هو رسم بياني يستخدم أعمدة (رأسية أو أفقية) لتمثيل البيانات. ارتفاع العمود أو طوله يعبر عن عدد أو كمية الفئة التي يمثلها.

خطوات إنشاء التمثيل بالأعمدة:

1. رسم محورين متعامدين: محور أفقي (يمثل الفئات) ومحور رأسي (يمثل التكرارات).
2. اختيار مقياس مناسب للمحور الرأسي.
3. رسم الأعمدة بارتفاعات تتناسب مع البيانات.

تمرين (تفسير التمثيل بالأعمدة):

الجدول التالي يبين عدد الطلاب في أربعة صفوف:

الصف	أ	ب	ج	د
عدد الطلاب	25	30	20	35

ارسم تمثيلاً بالأعمدة لهذه البيانات، ثم أجب:

1. أي الصفوف أكبر عدداً من الطلاب؟ (صف د)
2. أي الصفوف أقل عدداً من الطلاب؟ (صف ج)
3. ما الفرق بين عدد طلاب صف د وصف ب؟ (35 – 30 = 5 طلاب)

ما هو التمثيل بالأعمدة المزدوجة؟ هو تمثيل بياني يقارن بين مجموعتين من البيانات باستخدام أعمدة متجاورة لكل فئة.

تمرين: الجدول التالي يبين عدد الكتب التي قرأها طالبان في أربعة أشهر:

الشهر	محمد	أحمد
يناير	4	3
فبراير	5	4
مارس	6	5
أبريل	4	4

ارسم التمثيل بالأعمدة المزدوجة لهذه البيانات، ثم أجب:

1. في أي شهر كان عدد الكتب أكبر لمحمد؟ (مارس)
2. في أي شهر كان عدد الكتب متساوياً للطالبين؟ (أبريل)

مصطلحات الاحتمال:

• مؤكد (Certain): سيحدث بالتأكيد (احتمال 100%).
• مستحيل (Impossible): لن يحدث أبداً (احتمال 0%).
• أكثر احتمالاً (More Likely): فرصة حدوثه أكبر من عدم حدوثه.
• أقل احتمالاً (Less Likely): فرصة حدوثه أقل من عدم حدوثه.
• متساوي الاحتمال (Equally Likely): فرصة حدوثه تساوي فرصة عدم حدوثه (50% – 50%).

تمرين (اختر الكلمة المناسبة: مؤكد، مستحيل، أكثر احتمالاً، أقل احتمالاً، متساوي الاحتمال):

1. سحب كرة حمراء من كيس يحتوي على 10 كرات حمراء فقط. (مؤكد)
2. سحب كرة خضراء من كيس يحتوي على 10 كرات حمراء. (مستحيل)
3. سحب كرة حمراء من كيس يحتوي على 7 كرات حمراء و3 كرات زرقاء. (أكثر احتمالاً)
4. سحب كرة زرقاء من كيس يحتوي على 5 كرات حمراء و5 كرات زرقاء. (متساوي الاحتمال)
5. سحب كرة صفراء من كيس يحتوي على 8 كرات حمراء وكرتين زرقاوين. (أقل احتمالاً)

التعبير عن الاحتمال باستخدام الكسور: احتمال وقوع حدث = عدد النواتج الممكنة للحدث ÷ عدد النواتج الكلية (الممكنة).

مثال: صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء.

• احتمال سحب كرة حمراء = 5/8
• احتمال سحب كرة زرقاء = 3/8
• احتمال سحب كرة خضراء = 0/8 = 0 (مستحيل)
• احتمال سحب كرة حمراء أو زرقاء = 8/8 = 1 (مؤكد)

تمرين (أوجد الاحتمال على صورة كسر اعتيادي):

صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء، 3 كرات زرقاء، 2 كرات خضراء، 1 كرة صفراء.

1. احتمال سحب كرة حمراء = ______
2. احتمال سحب كرة زرقاء = ______
3. احتمال سحب كرة خضراء = ______
4. احتمال سحب كرة صفراء = ______
5. احتمال سحب كرة سوداء = ______

الإجابة: 4/10 = 2/5 / 3/10 / 2/10 = 1/5 / 1/10 / 0

الرسم الشجري (Tree Diagram): طريقة بصرية لتنظيم جميع النتائج الممكنة لتجربة ما. نبدأ بفرع رئيسي ثم نتفرع لاحتمالات أخرى.

القائمة المنظمة (Organized List): كتابة جميع النتائج الممكنة بشكل منطقي ومنظم.

مثال (الرسم الشجري): رمي قطعة نقود (عملة) مرتين. ما هي النتائج الممكنة؟

• الرمية الأولى: (صورة – كتابة)
• الرمية الثانية لكل احتمال: (صورة – كتابة)
• النتائج الممكنة: (ص، ص)، (ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك). عددها = 4

تمرين (استخدم الرسم الشجري أو القائمة المنظمة):

في مطعم، يمكن شراء ساندويتش من نوعين (دجاج، لحم)، وعصير من نوعين (برتقال، تفاح). كم وجبة مختلفة يمكن تكوينها؟

الإجابة: (دجاج، برتقال)، (دجاج، تفاح)، (لحم، برتقال)، (لحم، تفاح). عدد الوجبات = 4.

سؤال 1 (أوجد المتوسط الحسابي): البيانات: 20، 25، 30، 35، 40
الإجابة: (20+25+30+35+40) ÷ 5 = 150 ÷ 5 = 30

سؤال 2 (أوجد الوسيط والمنوال): البيانات: 5، 8، 8، 10، 12، 12، 12
الإجابة: الوسيط = 10 (القيمة الرابعة) / المنوال = 12

سؤال 3 (التمثيل بالأعمدة): ارسم تمثيلاً بالأعمدة للبيانات التالية: (تفاح: 8، موز: 5، برتقال: 7، عنب: 4)
الإجابة: (رسم توضيحي للطالب)

سؤال 4 (الاحتمال): صندوق يحتوي على 6 كرات بيضاء و4 كرات سوداء. ما احتمال سحب كرة بيضاء؟
الإجابة: 6/10 = 3/5

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. أي مقاييس النزعة المركزية يتأثر بالقيم المتطرفة؟ (أ) الوسيط (ب) المنوال (ج) المتوسط الحسابي (د) المدى)
2. الوسيط للأعداد: 12، 15، 18، 21، 24 هو ______. (أ) 15 (ب) 18 (ج) 21 (د) 12)
3. في تجربة رمي مكعب الأرقام (1-6)، احتمال ظهور عدد أكبر من 4 هو ______. (أ) 1/2 (ب) 1/3 (ج) 1/6 (د) 2/3)

الإجابة: ج / ب / ب

سؤال 2 (أكمل الفراغ):

1. المتوسط الحسابي لمجموعة البيانات هو مجموع القيم مقسوماً على ______.
2. المنوال هو القيمة ______ تكراراً.
3. إذا كان احتمال حدث ما 1، فهذا يعني أنه ______.

الإجابة: عددها / الأكثر / مؤكد

سؤال 3 (مسألة لفظية): في مسابقة للجري، قطع خمسة عدائين المسافات التالية (بالأمتار): 100، 120، 110، 130، 140. أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.
الإجابة: المتوسط = (100+120+110+130+140) ÷ 5 = 600 ÷ 5 = 120 / الوسيط = 120 (بعد الترتيب) / لا يوجد منوال (كل القيم مختلفة).

سؤال 4 (الرسم الشجري): باستخدام الرسم الشجري، أوجد جميع النتائج الممكنة عند رمي قطعة نقود (عملة) مرة واحدة وقطعة نرد (مكعب أرقام 1-6) مرة واحدة.
الإجابة: عدد النتائج = 2 × 6 = 12 نتيجة. (صورة، 1) (صورة، 2) … (كتابة، 5) (كتابة، 6).

سؤال 1 (جمع وطرح كسور): 3/4 + 1/2 = ______
الإجابة: 3/4 + 2/4 = 5/4 = 1 1/4

سؤال 2 (ضرب وقسمة كسور): 2/3 × 3/4 = ______
الإجابة: 6/12 = 1/2

سؤال 3 (هندسة): احسب مساحة مستطيل طوله 8 سم وعرضه 5 سم.
الإجابة: المساحة = 8 × 5 = 40 سم²

سؤال 4 (إحصاء): أوجد المتوسط الحسابي للأعداد: 10، 20، 30، 40
الإجابة: (10+20+30+40) ÷ 4 = 100 ÷ 4 = 25

سؤال 5 (احتمال): صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء و5 كرات زرقاء. ما احتمال سحب كرة زرقاء؟
الإجابة: 5/8