الفصل السابع النسبة والتناسب

ما هي النسبة؟ النسبة هي مقارنة بين كميتين من نفس النوع باستخدام القسمة.

تمرين (تأكد وتدرب): اكتب النسبة في أبسط صورة:

1. عدد الأولاد 8، عدد البنات 12 → نسبة الأولاد إلى البنات = ______
2. طول مستطيل 15 سم، عرضه 5 سم → نسبة الطول إلى العرض = ______
3. عمر أحمد 12 سنة، عمر خالد 8 سنوات → نسبة عمر أحمد إلى عمر خالد = ______

الإجابة: 8:12 = 2:3 / 15:5 = 3:1 / 12:8 = 3:2

مسائل لفظية:

1. في فصل دراسي 15 طالباً و10 طالبات. ما نسبة عدد الطلاب إلى عدد الطالبات؟ (3:2)
2. علبة حلوى تحتوي على 12 قطعة حلوى حمراء و8 زرقاء. ما نسبة الحمراء إلى الزرقاء؟ (3:2)

ما هو المعدل؟ المعدل هو نسبة تقارن بين كميتين بوحدتين مختلفتين. مثل: السرعة (كم/ساعة)، الكثافة السكانية (عدد السكان/كم²)، السعر (ريال/كيلو).

أمثلة على المعدلات:

• سارت سيارة مسافة 300 كيلومتر في 5 ساعات → المعدل = 300 ÷ 5 = 60 كم/ساعة
• ثمن 4 كيلو تفاح 20 ريالاً → المعدل = 20 ÷ 4 = 5 ريالات/كيلو
• أنتج مصنع 600 قطعة في 8 ساعات → المعدل = 600 ÷ 8 = 75 قطعة/ساعة

المعدل كوحدة (معدل الوحدة – Unit Rate): هو تبسيط المعدل ليصبح مقامه 1.

• 300 كم / 5 ساعات = 60 كم/ساعة (معدل الوحدة)
• 20 ريال / 4 كجم = 5 ريال/كجم (معدل الوحدة)

تمرين (تأكد وتدرب – إيجاد المعدل):

1. قطعت طائرة مسافة 1500 كم في 3 ساعات. ما سرعتها المتوسطة؟ ______ كم/ساعة
2. اشترى أحمد 5 كجم من البرتقال بـ 25 ريالاً. ما سعر الكيلو الواحد؟ ______ ريال/كجم
3. كتب طالب 300 كلمة في 10 دقائق. ما معدل كتابته في الدقيقة؟ ______ كلمة/دقيقة
4. ينتج مصنع 4500 قميص في 15 يوماً. ما معدل الإنتاج اليومي؟ ______ قميص/يوم

الإجابة: 500 / 5 / 30 / 300

مسائل لفظية: إذا كان ثمن 6 علب عصير 24 ريالاً، فما ثمن العلبة الواحدة؟ (4 ريالات)
إذا قطع رجل مسافة 40 كم في 5 ساعات، فأوجد سرعته المتوسطة؟ (8 كم/ساعة)

ما هو التناسب؟ التناسب هو تساوي نسبتين. أي: أ/ب = ج/د (حيث ب ≠ 0، د ≠ 0).

خاصية الضرب التبادلي (Cross Multiplication): إذا كان أ/ب = ج/د، فإن أ × د = ب × ج.

أمثلة على التناسب:

• 2/3 = 4/6 ← 2 × 6 = 3 × 4 (12 = 12)
• 3/5 = 9/15 ← 3 × 15 = 5 × 9 (45 = 45)
• 1/2 = 5/10 ← 1 × 10 = 2 × 5 (10 = 10)

تمرين (تأكد وتدرب – تحديد التناسب): حدد أي الأزواج التالية تشكل تناسباً (صح أو خطأ):

1. 3/4 = 6/8 (صح / خطأ)
2. 2/5 = 4/9 (صح / خطأ)
3. 1/3 = 4/12 (صح / خطأ)
4. 5/7 = 10/14 (صح / خطأ)

الإجابة: صح / خطأ / صح / صح

كيف نحل التناسب؟ نستخدم الضرب التبادلي لإيجاد قيمة المجهول (س).

أمثلة على حل التناسب:

• س/4 = 3/6 → 6 × س = 4 × 3 → 6س = 12 → س = 2
• 2/3 = 8/س → 2 × س = 3 × 8 → 2س = 24 → س = 12
• 3/س = 6/10 → 3 × 10 = س × 6 → 30 = 6س → س = 5
• 5/8 = س/16 → 5 × 16 = 8 × س → 80 = 8س → س = 10

تمرين (تأكد وتدرب – حل التناسب):

1. س/5 = 2/10 → س = ______
2. 3/4 = س/12 → س = ______
3. 2/س = 4/10 → س = ______
4. 5/6 = 15/س → س = ______
5. س/9 = 4/3 → س = ______
6. 7/س = 14/8 → س = ______

الإجابة: 1 / 9 / 5 / 18 / 12 / 4

مسائل لفظية (حل التناسب):

1. إذا كان ثمن 3 أقلام 9 ريالات، فكم ثمن 7 أقلام؟ (3/9 = 7/س ← 3س = 63 ← س = 21 ريالاً)
2. تقطع سيارة 120 كيلومتراً في ساعتين، فكم كيلومتراً تقطع في 5 ساعات؟ (120/2 = س/5 ← 2س = 600 ← س = 300 كم)
3. نسبة عدد الأولاد إلى عدد البنات في فصل هي 3:2، فإذا كان عدد الأولاد 15، فما عدد البنات؟ (3/2 = 15/س ← 3س = 30 ← س = 10 بنات)
4. في مطعم، نسبة الطلاب المفضلين للبيتزا إلى البرجر هي 4:5، فإذا كان عدد مشجعي البرجر 25، فكم عدد مشجعي البيتزا؟ (4/5 = س/25 ← 5س = 100 ← س = 20 شجعان بيتزا)

ما هو مقياس الرسم؟ هو نسبة بين طول رسم شيء ما إلى طوله الحقيقي. يستخدم في الخرائط، مخططات البناء، والنماذج المصغرة.

صيغ مقياس الرسم:

• 1 : 100 (يعني أن كل 1 سم على الخريطة يقابل 100 سم في الواقع)
• 1/100 (نفس المعنى)
• 1 سم : 1 كم (وحدة مختلفة)

أمثلة على مقياس الرسم:

• مقياس رسم خريطة 1 : 50000 يعني أن 1 سم على الخريطة = 50000 سم في الواقع = 500 متر
• مقياس رسم مخطط منزل 1 : 100 يعني أن 1 سم على المخطط = 100 سم في الواقع = 1 متر
• مقياس رسم نموذج سيارة 1 : 24 يعني أن النموذج أصغر بـ 24 مرة من السيارة الحقيقية

قوانين مقياس الرسم:

• المسافة الحقيقية = المسافة على الخريطة × مقلوب مقياس الرسم
• المسافة على الخريطة = المسافة الحقيقية × مقياس الرسم
• مقياس الرسم = المسافة على الخريطة ÷ المسافة الحقيقية (بنفس الوحدة)

تمرين (تأكد وتدرب – مقياس الرسم):

1. على خريطة مقياس رسمها 1 : 10000، المسافة بين مدينتين 5 سم. ما المسافة الحقيقية بينهما؟ (5 × 10000 = 50000 سم = 500 متر)
2. على خريطة مقياس رسمها 1 : 50000، المسافة الحقيقية بين قريتين 2 كم. ما المسافة على الخريطة؟ (200000 سم ÷ 50000 = 4 سم)
3. إذا كانت المسافة على الخريطة 3 سم والمسافة الحقيقية 600 متر، ما مقياس الرسم؟ (3 : 60000 = 1 : 20000)
4. في مخطط منزل بمقياس رسم 1 : 200، طول غرفة على المخطط 2.5 سم. ما طولها الحقيقي؟ (2.5 × 200 = 500 سم = 5 أمتار)

الإجابة: 500 متر / 4 سم / 1 : 20000 / 5 أمتار

مسائل لفظية:

1. على خريطة مقياس رسمها 1 : 25000، المسافة بين مدينتين 8 سم. ما المسافة الحقيقية بينهما بالكيلومترات؟ (8 × 25000 = 200000 سم = 2 كم)
2. إذا كان مقياس رسم نموذج طائرة 1 : 72، وكان طول الطائرة الحقيقية 36 متراً، فما طول النموذج؟ (3600 سم ÷ 72 = 50 سم)

التماثل في الهندسة: شكلان متشابهان إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية، والأضلاع المتناظرة متناسبة.

أمثلة على التماثل:

• مثلثان متشابهان: أضلاع الأول 3، 4، 5 وأضلاع الثاني 6، 8، 10 (3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2)
• مستطيلان متشابهان: الأول طوله 2 سم وعرضه 3 سم، الثاني طوله 4 سم وعرضه 6 سم (2/4 = 3/6 = 1/2)

حساب الأبعاد في الأشكال المتشابهة: نستخدم التناسب لإيجاد طول ضلع مجهول.

• إذا كان مثلث ABC يشابه DEF، وكان AB = 4 سم، DE = 6 سم، BC = 5 سم، فما طول EF؟ (4/6 = 5/EF → 4EF = 30 → EF = 7.5 سم)

تمرين (التماثل):

1. مثلث أضلاعه 6، 8، 10 يشابه مثلثاً آخر ضلعه الأصغر 3. ما هي أضلاع المثلث المشابه؟ (3، 4، 5)
2. مستطيل طوله 12 سم وعرضه 8 سم يشابه مستطيلاً عرضه 4 سم. ما طول المستطيل المشابه؟ (12/8 = س/4 → 8س = 48 → س = 6 سم)

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. نسبة 4 إلى 8 في أبسط صورة هي ______. (أ) 1:2 (ب) 2:1 (ج) 4:8 (د) 8:4)
2. إذا كان 3/5 = 9/س، فإن س = ______. (أ) 5 (ب) 9 (ج) 15 (د) 3)
3. إذا كانت السرعة 80 كم/ساعة، فإن المسافة التي يقطعها في 3 ساعات = ______ كم. (أ) 160 (ب) 240 (ج) 320 (د) 400)
4. على خريطة مقياس رسمها 1:20000، المسافة بين مدينتين 5 سم، فالمسافة الحقيقية = ______ متر. (أ) 500 (ب) 1000 (ج) 1500 (د) 2000)

الإجابة: أ / ج / ب / ب

سؤال 2 (أكمل الفراغات):

1. النسبة بين 12 و 18 في أبسط صورة هي ______.
2. المعدل هو نسبة بين كميتين بوحدتين ______.
3. إذا كان 2/3 = 8/س، فإن س = ______.
4. على خريطة مقياس رسمها 1:50000، المسافة على الخريطة 3 سم، فالمسافة الحقيقية = ______ متر.

الإجابة: 2:3 / مختلفتين / 12 / 1500

سؤال 3 (مسائل لفظية):

1. إذا كان ثمن 4 كجم من البرتقال 12 ريالاً، فكم ثمن 7 كجم؟ (12/4 = 3 ريال/كجم × 7 = 21 ريالاً) أو باستخدام التناسب: 4/12 = 7/س → 4س = 84 → س = 21
2. قطع قطار مسافة 300 كم في 5 ساعات، فكم يحتاج لقطع 480 كم بنفس السرعة؟ (السرعة = 300 ÷ 5 = 60 كم/ساعة، الزمن = 480 ÷ 60 = 8 ساعات) أو بالتناسب: 300/5 = 480/س → 300س = 2400 → س = 8
3. في مدرسة نسبة عدد الطلاب إلى عدد المعلمين 20:1، فإذا كان عدد الطلاب 400، فكم عدد المعلمين؟ (20/1 = 400/س → 20س = 400 → س = 20 معلماً)
4. على خريطة مقياس رسمها 1 : 250000، المسافة بين مدينتين 4 سم. ما المسافة الحقيقية بالكيلومترات؟ (4 × 250000 = 1000000 سم = 10 كم)

الإجابة: 21 ريالاً / 8 ساعات / 20 معلماً / 10 كم