حل الفصل الاول المعادلات الخطية ثالث متوسط

س: أحسب قيمة كل عبارة مما يلي:
1. 15 + 23 = 38
2. 45 – 18 = 27
3. 7 × 8 = 56
4. 48 ÷ 6 = 8
5. 12 × 5 = 60
6. 144 ÷ 12 = 12

س: أوجد قيمة س إذا كانت س × 5 = 35
ج: س = 7 (لأن 7 × 5 = 35)

تعريف المعادلة (Equation):
هي جملة رياضية تحتوي على إشارة يساوي (=) ومتغير واحد أو أكثر.

مجموعة التعويض (Solution Set):
هي مجموعة القيم التي تجعل المعادلة صحيحة عند تعويض المتغير بها.

أمثلة:

• س + 5 = 12 ← س = 7
• 2س = 16 ← س = 8
• ص – 4 = 10 ← ص = 14

تمرين: حدد هل العدد المعطى يمثل حلاً للمعادلة؟
1. س + 9 = 17، س = 8 (نعم، لأن 8 + 9 = 17)
2. 3س = 24، س = 9 (لا، لأن 3 × 9 = 27 ≠ 24)
3. ص – 7 = 12، ص = 19 (نعم، لأن 19 – 7 = 12)

قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):

• لحل معادلة جمع (س + أ = ب): نطرح أ من كلا الطرفين.
• لحل معادلة طرح (س – أ = ب): نضيف أ إلى كلا الطرفين.

أمثلة:

• س + 8 = 15 ← س = 15 – 8 = 7
• ص – 7 = 12 ← ص = 12 + 7 = 19
• أ + 12 = 20 ← أ = 20 – 12 = 8
• م – 5 = 9 ← م = 9 + 5 = 14

قاعدة حل المعادلات (حفظ التوازن):

• لحل معادلة ضرب (أس = ب): نقسم كلا الطرفين على أ.
• لحل معادلة قسمة (س ÷ أ = ب): نضرب كلا الطرفين في أ.

أمثلة:

• 4س = 20 ← س = 20 ÷ 4 = 5
• 3ط = 30 ← ط = 30 ÷ 3 = 10
• س ÷ 5 = 9 ← س = 9 × 5 = 45
• ص ÷ 8 = 7 ← ص = 7 × 8 = 56

تمرين (حل المعادلات البسيطة):
1. 5س = 45 → س = 9
2. 9ص = 72 → ص = 8
3. س ÷ 6 = 7 → س = 42
4. 10 = ع ÷ 4 → ع = 40
5. س – 12 = 15 → س = 27
6. س + 9 = 22 → س = 13

خطوات حل المعادلات المتعددة الخطوات:

1. نبسط طرفي المعادلة إذا لزم الأمر (نوزع، نجمع الحدود المتشابهة).
2. نتخلص من عمليات الجمع أو الطرح أولاً (باستخدام العملية العكسية).
3. نتخلص من عمليات الضرب أو القسمة ثانياً (باستخدام العملية العكسية).

أمثلة على حل معادلات متعددة الخطوات:

• 2س + 3 = 11 → 2س = 8 → س = 4
• 3س – 5 = 10 → 3س = 15 → س = 5
• 4ب + 7 = 23 → 4ب = 16 → ب = 4
• 5س + 6 = 26 → 5س = 20 → س = 4
• س/2 + 4 = 10 → س/2 = 6 → س = 12
• 6س – 8 = 28 → 6س = 36 → س = 6

تمرين: حل المعادلات التالية:
1. 2س + 7 = 15 → 2س = 8 → س = 4
2. 5س – 9 = 16 → 5س = 25 → س = 5
3. 3س + 11 = 32 → 3س = 21 → س = 7
4. 7س – 14 = 35 → 7س = 49 → س = 7

خطوات الحل:

1. نضيف أو نطرح المتغيرات من كلا الطرفين لتجميعها في طرف واحد.
2. نضيف أو نطرح الأعداد من كلا الطرفين لتجميعها في الطرف الآخر.
3. نقسم أو نضرب لإيجاد قيمة المتغير.

أمثلة:

• 2س + 3 = س + 7 → 2س – س = 7 – 3 → س = 4
• 3س – 5 = 2س + 10 → 3س – 2س = 10 + 5 → س = 15
• 4س + 8 = 2س + 16 → 4س – 2س = 16 – 8 → 2س = 8 → س = 4
• 5س – 3 = 2س + 12 → 5س – 2س = 12 + 3 → 3س = 15 → س = 5

تمرين: حل المعادلات التالية:
1. 4س + 5 = 2س + 13 → 4س – 2س = 13 – 5 → 2س = 8 → س = 4
2. 7س – 4 = 3س + 16 → 7س – 3س = 16 + 4 → 4س = 20 → س = 5
3. 6س + 2 = 4س + 18 → 6س – 4س = 18 – 2 → 2س = 16 → س = 8
4. 8س – 6 = 5س + 21 → 8س – 5س = 21 + 6 → 3س = 27 → س = 9

تعريف القيمة المطلقة (Absolute Value):
هي المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. يرمز لها بـ |س|.

قاعدة حل معادلات القيمة المطلقة |س| = أ (حيث أ > 0):

• س = أ أو س = -أ (للمعادلة حلان)
• إذا كانت أ < 0، فلا يوجد حل (لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة).

أمثلة على حل معادلات القيمة المطلقة:

• |س| = 5 ← س = 5 أو س = -5
• |س – 2| = 3 ← س – 2 = 3 أو س – 2 = -3 ← س = 5 أو س = -1
• |س + 1| = 4 ← س + 1 = 4 أو س + 1 = -4 ← س = 3 أو س = -5
• |ن – 1| = 5 ← ن – 1 = 5 أو ن – 1 = -5 ← ن = 6 أو ن = -4

تمرين (حل معادلات القيمة المطلقة):
1. |س| = 7 → س = 7 أو س = -7
2. |س + 3| = 8 → س + 3 = 8 أو س + 3 = -8 → س = 5 أو س = -11
3. |2س – 4| = 6 → 2س – 4 = 6 أو 2س – 4 = -6 → 2س = 10 أو 2س = -2 → س = 5 أو س = -1
4. |3س + 6| = 12 → 3س + 6 = 12 أو 3س + 6 = -12 → 3س = 6 أو 3س = -18 → س = 2 أو س = -6
5. |س – 4| = -2 → لا يوجد حل (القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة)

تطبيق 1 (متعددة الخطوات):
إذا كان سعر 4 أقلام ودفتر 7 ريالات يساوي 23 ريالاً، فما سعر القلم الواحد إذا كان الدفتر يساوي 7 ريالات؟
الحل: 4س + 7 = 23 → 4س = 16 → س = 4 ريالات

تطبيق 2 (القيمة المطلقة – سعر السهم):
إذا كان سعر سهم شركة 30 ريالاً زائد أو ناقص 5 ريالات، فما هو أعلى وأدنى سعر؟
الحل: |س – 30| = 5 → س – 30 = 5 أو س – 30 = -5 ← س = 35 أو س = 25
أعلى سعر: 35 ريالاً، أدنى سعر: 25 ريالاً

تطبيق 3 (معادلة بسيطة):
إذا كان عمر أحمد يساوي ضعف عمر سارة، وكان مجموع عمريهما 30 سنة، فما عمر كل منهما؟
الحل: عمر سارة = س، عمر أحمد = 2س ← س + 2س = 30 → 3س = 30 → س = 10 سنوات (سارة)، عمر أحمد = 20 سنة

✅ نموذج الإجابات:

س1: حل المعادلة: 5س = 45
ج: س = 9

س2: حل المعادلة: س – 12 = 24
ج: س = 36

س3: حل المعادلة: 3س + 7 = 28
ج: 3س = 21 ← س = 7

س4: حل المعادلة: 4س + 3 = 2س + 15
ج: 4س – 2س = 15 – 3 → 2س = 12 ← س = 6

س5: حل المعادلة: |س – 5| = 7
ج: س – 5 = 7 أو س – 5 = -7 ← س = 12 أو س = -2

✅ نموذج الإجابات:

س1: حل المعادلة: 8س = 64
ج: س = 8

س2: حل المعادلة: س ÷ 7 = 9
ج: س = 63

س3: حل المعادلة: 2س + 9 = 25
ج: 2س = 16 ← س = 8

س4: حل المعادلة: 5س – 8 = 3س + 12
ج: 5س – 3س = 12 + 8 → 2س = 20 ← س = 10

س5: حل المعادلة: |2س – 3| = 9
ج: 2س – 3 = 9 أو 2س – 3 = -9 → 2س = 12 أو 2س = -6 → س = 6 أو س = -3

س6: تطبيق واقعي: إذا كان ثمن 5 كتب ودفتر بـ10 ريالات يساوي 60 ريالاً، فما ثمن الكتاب الواحد؟
ج: 5س + 10 = 60 → 5س = 50 ← س = 10 ريالات