حل الفصل الخامس العبارات الجبرية والمعادلات

الفكرة الرئيسية: كتابة عبارات جبرية بسيطة تتضمن متغيراً (مثل: س + 7 أو ص - 4) وإيجاد قيمتها عند تعويض المتغير برقم معين.

المفاهيم الأساسية:

• المتغير (Variable): رمز (غالباً حرف) يمثل عدداً مجهولاً (مثل: س، ص، ع).
• العبارة الجبرية (Algebraic Expression): جملة رياضية تحتوي على أعداد ومتغيرات وعمليات (مثل: س + 5).
• التعويض (Substitution): استبدال المتغير بقيمة عددية معينة لإيجاد قيمة العبارة.

أمثلة على عبارات الجمع الجبرية:

• "يزيد عمر أحمد عن عمر خالد بـ 4 سنوات": س + 4 (حيث س عمر خالد)
• "اشترى خالد 3 كتب وأضاف إليها كتابين": ك + 2

أمثلة على عبارات الطرح الجبرية:

• "ينقص سعر القلم عن سعر الدفتر بـ 3 ريالات": س - 3
• "كان مع محمد 50 ريالاً، أنفق منها 15 ريالاً": 50 - 15 = 35

إيجاد قيمة عبارة جبرية (التعويض):

• إذا كانت س + 7، وس = 5: 5 + 7 = 12
• إذا كانت ص - 4، وص = 10: 10 - 4 = 6
• إذا كانت 20 - ع، وع = 8: 20 - 8 = 12

س: اكتب عبارة جبرية تعبر عن: "يزيد عدد أقلام خالد عن عدد أقلام سعيد بـ 5 أقلام".
ج: س + 5 (حيث س عدد أقلام سعيد)

س: إذا كانت ص + 9، وكانت ص = 15، فأوجد قيمة العبارة.
ج: 15 + 9 = 24

نشاط (ص 146): إذا كانت ع - 12، وع = 30، فأوجد قيمة العبارة.
ج: 30 - 12 = 18

الفكرة الرئيسية: تمثيل عمليات الضرب والقسمة جبرياً وحساب قيمتها.

تمثيل الضرب جبرياً:

• 3 × س تكتب: 3س (يعني 3 مضروبة في س)
• 4 × ص تكتب: 4ص
• س × ص تكتب: س ص

تمثيل القسمة جبرياً:

• س ÷ 5 تكتب: س/5 أو س ÷ 5
• س ÷ ص تكتب: س/ص

أمثلة على عبارات الضرب الجبرية:

• "ضعف عدد أقلام سعيد": 2 × س = 2س
• "خمسة أضعاف عمر أحمد": 5 × ع = 5ع
• "مضاعفات العدد 7": 7 × ن = 7ن

أمثلة على عبارات القسمة الجبرية:

• "نصف عدد التفاحات": س ÷ 2
• "ربع المبلغ": م ÷ 4
• "توزيع 50 كتاباً على س طالب": 50 ÷ س أو 50/س

إيجاد قيمة عبارات الضرب والقسمة (التعويض):

• إذا كانت 3س، وس = 4: 3 × 4 = 12
• إذا كانت س/2، وس = 10: 10 ÷ 2 = 5
• إذا كانت 5ع - 3، وع = 6: (5 × 6) - 3 = 30 - 3 = 27

س: إذا كانت 4س وس = 12، فأوجد قيمة العبارة.
ج: 4 × 12 = 48

س: إذا كانت ص ÷ 3 وص = 18، فأوجد قيمة العبارة.
ج: 18 ÷ 3 = 6

نشاط (ص 150): اكتب عبارة جبرية تعبر عن "ثلاثة أمثال عمر نورة".
ج: 3س (حيث س عمر نورة)

الفكرة الرئيسية: استخدام استراتيجية "حل مسألة أبسط" لتسهيل الوصول للحل.

استراتيجية "حل مسألة أبسط":

• عند مواجهة مسألة معقدة، نحاول تبسيطها بتغيير الأعداد إلى أعداد أصغر.
• نحل المسألة البسيطة أولاً لفهم النمط.
• نطبق النمط على المسألة الأصلية.

مثال: إذا كان سعر 7 كيلو جرامات من التفاح 28 ريالاً، فكم سعر 12 كيلو جراماً؟
الحل بطريقة المسألة الأبسط:

• أولاً: سعر الكيلو الواحد = 28 ÷ 7 = 4 ريالات.
• ثانياً: سعر 12 كيلو = 12 × 4 = 48 ريالاً.

نشاط (ص 153): إذا كان ثمن 5 علب عصير 15 ريالاً، فكم ثمن 8 علب؟
ج:

• سعر العلبة الواحدة = 15 ÷ 5 = 3 ريالات.
• سعر 8 علب = 8 × 3 = 24 ريالاً.

✅ نموذج أسئلة الاختبار:

س1: اكتب عبارة جبرية لكل مما يلي:
أ) يزيد عدد أقلام خالد عن عدد أقلام سعيد بـ 3.
ج: ص + 3
ب) نصف عدد الكتب.
ج: ك ÷ 2

س2: أوجد قيمة 4ص إذا كانت ص = 7.
ج: 4 × 7 = 28

س3: أوجد قيمة س ÷ 6 إذا كانت س = 42.
ج: 42 ÷ 6 = 7

س4: إذا كان ثمن 3 كيلو برتقال 24 ريالاً، فكم ثمن 5 كيلو؟
ج: سعر الكيلو = 24 ÷ 3 = 8، ثمن 5 كيلو = 5 × 8 = 40 ريالاً

الفكرة الرئيسية: إكمال جدول الدالة بناءً على قاعدة معينة (المدخلات والمخرجات).

المفاهيم الأساسية:

• المدخلة (Input): العدد الذي ندخله إلى الدالة.
• المخرجة (Output): العدد الناتج بعد تطبيق القاعدة.
• قاعدة الدالة (Function Rule): العملية (العمليات) التي تطبق على المدخلة للحصول على المخرجة.

كيفية اكتشاف قاعدة الدالة:

• النمط المتزايد: إذا زادت المخرجة عن المدخلة ← قاعدة الجمع أو الضرب.
• النمط المتناقص: إذا قلت المخرجة عن المدخلة ← قاعدة الطرح أو القسمة.
• نقارن بين المدخلة والمخرجة في أول صفين لاكتشاف العلاقة.

أمثلة على جداول الدوال:
جدول (1):

المدخلة	المخرجة
3	7
5	9
8	12

القاعدة: المدخلة + 4 = المخرجة

جدول (2):

المدخلة	المخرجة
10	5
16	8
24	12

القاعدة: المدخلة ÷ 2 = المخرجة

جدول (3):

المدخلة	المخرجة
2	6
4	12
5	15

القاعدة: المدخلة × 3 = المخرجة

س: أكمل جدول الدالة: القاعدة هي (المدخلة + 7)

المدخلة	المخرجة
4	___
9	___
12	___

ج: 11، 16، 19

نشاط (ص 158): اكتشف قاعدة الدالة ثم أكمل الجدول.

المدخلة	المخرجة
5	15
7	21
9	27
11	___

ج: القاعدة: ×3، المخرجة = 33

الفكرة الرئيسية: حل جمل رياضية تحتوي على إشارة يساوي ومتغير (مثل: س + 8 = 15) لإيجاد القيمة المجهولة.

المعادلة (Equation): جملة رياضية تحتوي على إشارة يساوي (=) ومتغير واحد أو أكثر.
حل المعادلة (Solution): القيمة التي تجعل المعادلة صحيحة عند تعويضها.

حل معادلات الجمع (محاولة تخمينية):

• س + 5 = 12 ← ما العدد الذي إذا أضفنا إليه 5 يصبح 12؟ ← س = 7
• 9 = س + 3 ← ما العدد الذي إذا أضفنا إليه 3 يصبح 9؟ ← س = 6

حل معادلات الطرح (محاولة تخمينية):

• س - 4 = 10 ← ما العدد الذي إذا طرحنا منه 4 يصبح 10؟ ← س = 14
• 12 - س = 5 ← ما العدد الذي طرحناه من 12 فأصبح الناتج 5؟ ← س = 7

طرق أخرى لحل المعادلات:

• طريقة الحساب الذهني: التفكير بالعملية العكسية.
• طريقة النموذج (الميزان): المحافظة على توازن طرفي المعادلة.

التحقق من الحل: نعوض قيمة المتغير في المعادلة الأصلية ونتأكد من صحة الطرفين.
مثال: س + 8 = 15

• الحل: س = 7
• التحقق: 7 + 8 = 15 ✓

س: حل المعادلة ص + 9 = 21.
ج: ص = 12 (لأن 12 + 9 = 21)

س: حل المعادلة ع - 7 = 18.
ج: ع = 25 (لأن 25 - 7 = 18)

نشاط (ص 164): حل المعادلة 25 = س + 13.
ج: س = 12 (لأن 12 + 13 = 25)

الفكرة الرئيسية: حل معادلات تتضمن عملية ضرب (مثل: 4س = 20) باستخدام الحساب الذهني أو العمليات العكسية.

حل معادلات الضرب (محاولة تخمينية):

• 3س = 18 ← ما العدد الذي إذا ضربناه في 3 يعطي 18؟ ← س = 6
• 5ص = 35 ← ما العدد الذي إذا ضربناه في 5 يعطي 35؟ ← ص = 7

معادلات تحتوي على قسمة:

• س ÷ 4 = 6 ← ما العدد الذي إذا قسم على 4 يعطي 6؟ ← س = 24
• 15 ÷ س = 5 ← ما العدد الذي إذا قسمنا عليه 15 يعطي 5؟ ← س = 3

استخدام العملية العكسية:

• لحل 4س = 20: نستخدم القسمة (العملية العكسية للضرب) ← س = 20 ÷ 4 = 5
• لحل س ÷ 6 = 8: نستخدم الضرب (العملية العكسية للقسمة) ← س = 8 × 6 = 48

التحقق من الحل:

• 4س = 20، س = 5: 4 × 5 = 20 ✓
• س ÷ 6 = 8، س = 48: 48 ÷ 6 = 8 ✓

س: حل المعادلة 7ص = 42.
ج: ص = 42 ÷ 7 = 6

س: حل المعادلة س ÷ 5 = 9.
ج: س = 9 × 5 = 45

نشاط (ص 169): حل المعادلة 8س = 56.
ج: س = 56 ÷ 8 = 7

✅ نموذج اختبار شامل:

أولاً: اكتب عبارة جبرية لكل مما يلي:
1. يزيد عمر خالد عن عمر محمد بـ 7 سنوات.
ج: م + 7
2. ثلاثة أضعاف عدد الكتب.
ج: 3س
3. نصف المبلغ
ج: م ÷ 2

ثانياً: أوجد قيمة كل عبارة مما يلي عند س = 5:
1. س + 8 = 13
2. 3س = 15
3. س ÷ 2 = 2.5

ثالثاً: أكمل جدول الدالة:

المدخلة	المخرجة	القاعدة
4	8	_____
7	14
9	18

ج: القاعدة: المدخلة × 2

رابعاً: حل المعادلات التالية:
1. س + 12 = 27 → س = 15
2. ص - 8 = 14 → ص = 22
3. 4س = 32 → س = 8
4. س ÷ 7 = 6 → س = 42

خامساً: مسألة لفظية:
إذا كان ثمن 5 أقلام 35 ريالاً، فما ثمن القلم الواحد؟
ج: 35 ÷ 5 = 7 ريالات

✅ مراجعة تراكمية على مهارات القسمة والجبر:

س1: أوجد ناتج 2,456 ÷ 8.
ج: 307

س2: قدر ناتج 1,890 ÷ 6.
ج: 1,800 ÷ 6 = 300

س3: اكتب عبارة جبرية: "ينقص سعر القلم عن سعر الدفتر بـ 3 ريالات".
ج: ص - 3 (حيث ص سعر الدفتر)

س4: أوجد قيمة 4س عندما س = 9.
ج: 4 × 9 = 36

س5: حل المعادلة س + 7 = 23.
ج: س = 16

س6: حل المعادلة 6ص = 54.
ج: ص = 9

س7: توزع معلمة 240 ملصقاً على 20 طالباً بالتساوي. كم ملصقاً يأخذ كل طالب؟
ج: 240 ÷ 20 = 12 ملصقاً

س8: إذا كان عمر أحمد 12 سنة، وعمر أخته نصف عمره، فكم عمر أخته؟
ج: 12 ÷ 2 = 6 سنوات