القاسم المشترك الأكبر
تعريف القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ):
هو أكبر عدد صحيح يقبل القسمة على عددين أو أكثر دون باقٍ.
طريقة إيجاد القاسم المشترك الأكبر (طريقة القواسم):
- نكتب جميع قواسم كل عدد.
- نحدد القواسم المشتركة.
- نختار أكبر قاسم مشترك.
أمثلة:
- ق.م.أ (12، 18) = 6
- ق.م.أ (8، 12) = 4
- ق.م.أ (15، 25) = 5
- ق.م.أ (16، 24، 32) = 8
استخدام ق.م.أ في تبسيط الكسور:
- لتبسيط 8/12، نجد ق.م.أ (8، 12) = 4
- نقسم البسط والمقام على 4: (8÷4)/(12÷4) = 2/3
- لتبسيط 15/25، ق.م.أ = 5 → (15÷5)/(25÷5) = 3/5
نشاط: أوجد ق.م.أ للعددين 36 و 48.
ج: قواسم 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36. قواسم 48: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48. القواسم المشتركة: 1,2,3,4,6,12. ق.م.أ = 12.
المضاعف المشترك الأصغر
تعريف المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ):
هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على عددين أو أكثر.
طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر:
- نكتب مضاعفات كل عدد.
- نحدد المضاعفات المشتركة.
- نختار أصغر مضاعف مشترك (ما عدا الصفر).
أمثلة:
- م.م.أ (3، 4) = 12
- م.م.أ (6، 8) = 24
- م.م.أ (4، 5) = 20
- م.م.أ (2، 3، 4) = 12
استخدام م.م.أ في توحيد المقامات:
- لتوحيد مقامات 1/3 و 1/4، نجد م.م.أ (3، 4) = 12
- 1/3 = 4/12، 1/4 = 3/12
نشاط: أوجد م.م.أ للعددين 5 و 7.
ج: مضاعفات 5: 5,10,15,20,25,30,35,40,... مضاعفات 7: 7,14,21,28,35,42,... أصغر مضاعف مشترك = 35.
الأعداد الكسرية والكسور غير الفعلية
تعريفات:
- العدد الكسري (Mixed Number): عدد يتكون من عدد صحيح وكسر (مثل: 2½).
- الكسر غير الفعلي (Improper Fraction): كسر بسطه أكبر من أو يساوي مقامه (مثل: 5/2).
تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي:
- نضرب العدد الصحيح في المقام.
- نجمع الناتج على البسط.
- نضع الناتج على المقام نفسه.
مثال: 2½ = (2 × 2 + 1)/2 = (4 + 1)/2 =
5/2
مثال: 3¾ = (3 × 4 + 3)/4 = (12 + 3)/4 =
15/4
تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري:
- نقسم البسط على المقام.
- الخارج يكون العدد الصحيح.
- الباقي يصبح البسط، والمقام كما هو.
مثال: 7/3 = 7 ÷ 3 = 2 والباقي 1 →
2⅓
مثال: 11/4 = 11 ÷ 4 = 2 والباقي 3 →
2¾
نشاط: حوّل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية:
1. 2⅗ = (2×5+3)/5 = 13/5
2. 4⅔ = (4×3+2)/3 = 14/3
3. 5¼ = (5×4+1)/4 = 21/4
تحويل الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري
الطريقة الأولى: تحويل المقام إلى 10، 100، 1000
- نضرب البسط والمقام في عدد مناسب لجعل المقام 10، 100، أو 1000.
- ثم نكتب العدد العشري المناسب.
أمثلة:
- 2/5 = (2×2)/(5×2) = 4/10 = 0.4
- 3/4 = (3×25)/(4×25) = 75/100 = 0.75
- 1/8 = (1×125)/(8×125) = 125/1000 = 0.125
الطريقة الثانية: القسمة المطولة (بسط ÷ مقام)
- نقسم البسط على المقام كما نقسم الأعداد الصحيحة.
- نضيف أصفاراً بعد الفاصلة عند الحاجة.
أمثلة:
- 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75
- 5/8 = 5 ÷ 8 = 0.625
- 2/3 = 2 ÷ 3 = 0.666... (كسر عشري دوري)
نشاط: حوّل الكسور الاعتيادية التالية إلى كسور عشرية:
1. 1/2 = 0.5
2. 3/5 = 0.6
3. 7/10 = 0.7
4. 5/8 = 0.625
تحويل الكسر العشري إلى كسر اعتيادي
خطوات التحويل:
- نحدد عدد المنازل العشرية يمين الفاصلة.
- نكتب الرقم الموجود يمين الفاصلة في البسط (بدون الفاصلة).
- نكتب في المقام 10 (إذا كان منزلة واحدة)، أو 100 (إذا كان منزلتين)، أو 1000 (إذا كان ثلاث منازل).
- نبسّط الكسر إلى أبسط صورة باستخدام ق.م.أ.
أمثلة:
- 0.5 = 5/10 = 1/2 (بالتبسيط)
- 0.25 = 25/100 = 1/4 (بالتبسيط)
- 0.75 = 75/100 = 3/4 (بالتبسيط)
- 0.125 = 125/1000 = 1/8 (بالتبسيط)
- 0.2 = 2/10 = 1/5
- 1.5 = 1 + 0.5 = 1 + 1/2 = 1½
نشاط: حوّل الكسور العشرية التالية إلى كسور اعتيادية في أبسط صورة:
1. 0.8 = 8/10 = 4/5
2. 0.4 = 4/10 = 2/5
3. 0.625 = 625/1000 = 5/8
4. 0.2 = 2/10 = 1/5
