6-1 القاسم المشترك الأكبر (ص 178-181)
الفكرة الرئيسية: إيجاد أكبر قاسم يشترك فيه عددان أو أكثر (مهم جداً لتبسيط الكسور).
تعريف القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ): هو أكبر عدد صحيح يقبل القسمة على عددين أو أكثر دون باقٍ.
طريقة إيجاد القاسم المشترك الأكبر (طريقة القواسم):
- نكتب جميع قواسم كل عدد.
- نحدد القواسم المشتركة.
- نختار أكبر قاسم مشترك.
مثال: ق.م.أ للعددين 12 و 18
- قواسم 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- قواسم 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- القواسم المشتركة: 1, 2, 3, 6
- القاسم المشترك الأكبر: 6
طريقة التحليل إلى العوامل الأولية:
- نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية.
- نضرب العوامل المشتركة بأصغر أس.
مثال: 12 = 2² × 3، 18 = 2 × 3²
- العوامل المشتركة: 2 (أس 1) و 3 (أس 1)
- ق.م.أ = 2 × 3 = 6
أمثلة إضافية:
- ق.م.أ (8، 12) = 4
- ق.م.أ (15، 25) = 5
- ق.م.أ (16، 24، 32) = 8
س: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 24 و 36.
ج:
- قواسم 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- قواسم 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- ق.م.أ = 12
نشاط (ص 180): أوجد ق.م.أ للعددين 18 و 30.
ج: 6
6-2 الكسر الفعلي والكسر غير الفعلي (ص 182-185)
الفكرة الرئيسية: التمييز بين الكسر الذي بسطه أصغر من مقامه (فعلي) والكسر الذي بسطه أكبر من مقامه (غير فعلي).
تعريفات مهمة:
- الكسر الفعلي (Proper Fraction): كسر بسطه أصغر من مقامه، وقيمته أقل من 1 (مثل: 2/3، 5/8).
- الكسر غير الفعلي (Improper Fraction): كسر بسطه أكبر من أو يساوي مقامه، وقيمته أكبر من أو تساوي 1 (مثل: 7/5، 9/4، 6/6).
أمثلة على الكسور الفعلية:
- 3/8 (ثلاثة أثمان)
- 7/10 (سبعة أعشار)
- 1/4 (ربع)
أمثلة على الكسور غير الفعلية:
- 5/4 (خمسة أرباع)
- 8/3 (ثمانية أثلاث)
- 9/9 (تسعة أتساع = 1)
س: صنف الكسور التالية إلى (فعلي / غير فعلي):
4/7, 9/5, 12/12, 3/10, 11/8
ج:
- فعلي: 4/7، 3/10
- غير فعلي: 9/5، 12/12، 11/8
نشاط (ص 184): اكتب ثلاثة أمثلة على كسور فعلية وثلاثة على كسور غير فعلية.
ج: فعلي: 1/2، 3/4، 5/6. غير فعلي: 7/3، 9/2، 11/5.
6-3 الأعداد الكسرية (ص 186-189)
الفكرة الرئيسية: كتابة الأعداد التي تتكون من عدد صحيح وكسر، وتحويلها إلى كسور غير فعلية والعكس.
تعريف العدد الكسري (Mixed Number): عدد يتكون من جزأين: عدد صحيح وكسر (مثل: 2½، 3¾).
تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي:
- اضرب العدد الصحيح في المقام ثم اجمع البسط.
- ضع الناتج على المقام نفسه.
مثال: 2½ = (2 × 2 + 1)/2 = (4 + 1)/2 = 5/2
مثال: 3¾ = (3 × 4 + 3)/4 = (12 + 3)/4 = 15/4
تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري:
- اقسم البسط على المقام.
- الخارج يكون العدد الصحيح، والباقي يكون البسط، والمقام كما هو.
مثال: 7/3 = 7 ÷ 3 = 2 والباقي 1 ← 2⅓
مثال: 11/4 = 11 ÷ 4 = 2 والباقي 3 ← 2¾
أمثلة إضافية:
- 4⅔ = (4 × 3 + 2)/3 = 14/3
- 5¼ = (5 × 4 + 1)/4 = 21/4
- 17/5 = 3⅖ (لأن 17 ÷ 5 = 3 والباقي 2)
س: حوّل العدد الكسري 3⅔ إلى كسر غير فعلي.
ج: (3 × 3 + 2)/3 = (9 + 2)/3 = 11/3
س: حوّل الكسر غير الفعلي 13/4 إلى عدد كسري.
ج: 13 ÷ 4 = 3 والباقي 1 ← 3¼
نشاط (ص 188): حوّل 7⅔ إلى كسر غير فعلي.
ج: (7 × 3 + 2)/3 = 23/3
ص 190 اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج أسئلة الاختبار:
س1: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 20 و 30.
ج: 10
س2: صنف الكسر 7/4 إلى (فعلي / غير فعلي):
ج: غير فعلي
س3: حوّل العدد الكسري 2⅖ إلى كسر غير فعلي.
ج: (2 × 5 + 2)/5 = 12/5
س4: حوّل الكسر غير الفعلي 22/7 إلى عدد كسري.
ج: 22 ÷ 7 = 3 والباقي 1 ← 3⅐
6-4 خطة حل المسألة: تمثيل المسألة (ص 191-193)
الفكرة الرئيسية: استخدام استراتيجية "تمثيل المسألة" (بالرسم أو النماذج) لتسهيل الفهم.
استراتيجية تمثيل المسألة:
- رسم شكل يمثل المسألة.
- استخدام النماذج الكسرية (دوائر، مستطيلات مقسمة).
- تجزئة الأعداد لتسهيل العمليات.
مثال: أراد أحمد توزيع 2 فطيرة على 5 أصدقاء بالتساوي. ما نصيب كل صديق؟
الحل بالنماذج:
- نمثل الفطيرتين بمستطيلين مقسمين كل منهما إلى 5 أجزاء.
- كل صديق يأخذ 2/5 من الفطيرة الواحدة.
- نصيب كل صديق = 2/5 + 2/5 = 4/5 من فطيرة.
نشاط (ص 192): استعمل النماذج لحل المسألة: "تناول محمد 3/4 فطيرة، وتناول أخوه 1/4 فطيرة. ما مجموع ما تناولاه؟"
ج: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1 فطيرة كاملة.
6-5 تبسيط الكسور (ص 194-198)
الفكرة الرئيسية: كتابة الكسر في أبسط صورة بقسمة البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر.
تعريف الكسر في أبسط صورة: هو كسر لا يمكن تبسيطه أكثر لأن القاسم المشترك الأكبر بين البسط والمقام هو 1.
طريقة تبسيط الكسور:
- أوجد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للبسط والمقام.
- اقسم البسط والمقام على ق.م.أ.
أمثلة على تبسيط الكسور:
- 4/8: ق.م.أ (4، 8) = 4 ← (4÷4)/(8÷4) = 1/2
- 6/9: ق.م.أ (6، 9) = 3 ← (6÷3)/(9÷3) = 2/3
- 12/18: ق.م.أ (12، 18) = 6 ← (12÷6)/(18÷6) = 2/3
- 15/25: ق.م.أ (15، 25) = 5 ← 3/5
تبسيط الأعداد الكسرية:
- 2/4: ق.م.أ (2، 4) = 2 ← 1/2 ← 3½
نصيحة ذهبية: عند تبسيط الكسر، استمر في القسمة حتى يصبح القاسم المشترك الوحيد بين البسط والمقام هو الرقم (1).
س: بسط الكسر 8/12 إلى أبسط صورة.
ج: ق.م.أ (8، 12) = 4 ← (8÷4)/(12÷4) = 2/3
س: بسط الكسر 16/24.
ج: ق.م.أ (16، 24) = 8 ← (16÷8)/(24÷8) = 2/3
نشاط (ص 196): بسط الكسر 18/27.
ج: ق.م.أ (18، 27) = 9 ← (18÷9)/(27÷9) = 2/3
6-6 المقارنة بين الكسور (ص 199-202)
الفكرة الرئيسية: استخدام النماذج أو توحيد المقامات للمقارنة بين كسرين.
طرق المقارنة بين الكسور:
- إذا كان المقامان متساويين: نضارن البسطين (العدد الأكبر بسطاً يعني كسراً أكبر).
- إذا كان المقامان مختلفين: نوحّد المقامات ثم نقارن البسطين.
- باستخدام النماذج: رسم النماذج الكسرية ومقارنتها بصرياً.
- باستخدام القيمة العشرية: تحويل الكسرين إلى كسور عشرية ثم المقارنة.
مقارنة كسور ذات مقامات متساوية:
- 3/7 > 2/7 (لأن 3 > 2)
- 5/9 < 7/9 (لأن 5 < 7)
مقارنة كسور ذات مقامات مختلفة (توحيد المقامات):
- قارن بين 2/3 و 3/4: نوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين 3، 4 = 12
- 2/3 = 8/12، 3/4 = 9/12، بما أن 8 < 9 إذن 2/3 < 3/4
أمثلة إضافية على المقارنة:
- 1/2 > 1/3 (في الكسور ذات البسط المتساوي، الكسر ذو المقام الأصغر يكون أكبر)
- 3/5 > 2/4 (بتحويل المقامات إلى 20: 12/20 > 10/20)
س: قارن بين 5/8 و 3/4 بوضع الإشارة المناسبة (>,
7/10 ← 4/5 > 7/10
س5: إذا كانت س + 8 = 15، فما قيمة س؟
ج: س = 7
س6: اشترى أحمد 3 فطائر بسعر 4 ريالات للفطيرة الواحدة. كم دفع؟
ج: 3 × 4 = 12 ريالاً
س7: توزع معلمة 24 قلماً على 6 طلاب بالتساوي. كم قلماً يأخذ كل طالب؟
ج: 24 ÷ 6 = 4 أقلام
س8: تناول خالد 1/3 التفاحة، وتناولت أخته 2/3 التفاحة. ما مجموع ما تناولاه؟
ج: 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 تفاحة كاملة
