الدرس الأول: خطة حل المسألة (إنشاء جدول)
الفكرة الرئيسية: تنظيم البيانات العشوائية في جدول إشارات أو جدول تكراري لتسهيل قراءتها واستخراج النتائج منها.
إنشاء الجداول التكرارية
الجدول التكراري (Frequency Table):
هو جدول يستخدم لتنظيم البيانات وتلخيصها، ويحتوي على عمود للقيم وعمود للتكرار (عدد مرات تكرار كل قيمة).
جدول الإشارات (Tally Chart):
هو جدول يستخدم علامات العد (الإشارات) لتسجيل تكرار البيانات قبل تحويلها إلى أرقام.
مثال: بيانات درجات 10 طلاب: (5، 7، 6، 5، 8، 7، 5، 6، 7، 8)
| الدرجة | الإشارات | التكرار |
|---|---|---|
| 5 | III | 3 |
| 6 | II | 2 |
| 7 | III | 3 |
| 8 | II | 2 |
نشاط: نظم البيانات التالية في جدول تكراري: (أحمر، أزرق، أخضر، أحمر، أزرق، أحمر، أخضر، أزرق، أزرق)
ج: أحمر = 3، أزرق = 4، أخضر = 2.
ج: أحمر = 3، أزرق = 4، أخضر = 2.
الدرس الثاني: المتوسط الحسابي (المعدل)
الفكرة الرئيسية: المتوسط الحسابي هو قيمة تمثل مجموعة من البيانات، ويحسب بقسمة مجموع البيانات على عددها.
المتوسط الحسابي (Mean)
القاعدة:
المتوسط الحسابي = مجموع البيانات ÷ عدد البيانات
أمثلة على حساب المتوسط الحسابي:
- درجات 5 طلاب: 8، 9، 7، 10، 6. المتوسط = (8+9+7+10+6) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8
- أسعار 4 أقلام: 5، 7، 6، 8 ريالات. المتوسط = (5+7+6+8) ÷ 4 = 26 ÷ 4 = 6.5 ريالات
- أعمار 3 أطفال: 10، 12، 14 سنة. المتوسط = (10+12+14) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12 سنة
استخدامات المتوسط الحسابي:
- مقارنة أداء الطلاب في الاختبارات.
- حساب متوسط الدخل أو الإنفاق.
- حساب متوسط درجة الحرارة.
نشاط: أوجد المتوسط الحسابي للبيانات التالية: (12، 15، 18، 21، 24)
ج: المجموع = 12+15+18+21+24 = 90، العدد = 5، المتوسط = 90 ÷ 5 = 18
ج: المجموع = 12+15+18+21+24 = 90، العدد = 5، المتوسط = 90 ÷ 5 = 18
الدرس الثالث: الوسيط والمنوال والمدى
الفكرة الرئيسية: قياسات النزعة المركزية والتشتت تساعد في فهم البيانات بشكل أفضل.
الوسيط (Median)
تعريف الوسيط: هو العدد الذي يقع في المنتصف بعد ترتيب البيانات من الأصغر إلى الأكبر.
طريقة الحساب:
طريقة الحساب:
- رتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر.
- إذا كان عدد البيانات فردياً: الوسيط هو العدد الأوسط.
- إذا كان عدد البيانات زوجياً: الوسيط هو متوسط العددين الأوسطين.
أمثلة على حساب الوسيط:
- البيانات: 3، 7، 5، 9، 1 ← نرتب: 1، 3، 5، 7، 9. الوسيط = 5 (عدد فردي)
- البيانات: 4، 8، 6، 10 ← نرتب: 4، 6، 8، 10. متوسط العددين الأوسطين = (6+8)÷2 = 14÷2 = 7 (عدد زوجي)
المنوال (Mode)
تعريف المنوال: هو القيمة أو القيم الأكثر تكراراً في البيانات.
ملاحظات:
ملاحظات:
- قد يكون هناك منوال واحد (إذا تكررت قيمة واحدة فقط).
- قد يكون هناك منوالان أو أكثر (إذا تكررت أكثر من قيمة بنفس العدد).
- قد لا يوجد منوال (إذا لم تتكرر أي قيمة).
أمثلة على حساب المنوال:
- البيانات: 2، 4، 2، 6، 2، 8 ← المنوال = 2 (كرر 3 مرات)
- البيانات: 5، 7، 5، 9، 7، 3 ← المنوال = 5 و 7 (كل منهما كرر مرتين)
- البيانات: 1، 2، 3، 4، 5 ← لا يوجد منوال (لا توجد قيم مكررة)
المدى (Range)
تعريف المدى: هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات.
القاعدة: المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة
القاعدة: المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة
أمثلة على حساب المدى:
- البيانات: 4، 9، 2، 7، 5 ← أكبر قيمة = 9، أصغر قيمة = 2، المدى = 9 - 2 = 7
- البيانات: 15، 20، 25، 30، 35 ← المدى = 35 - 15 = 20
نشاط: أوجد الوسيط والمنوال والمدى للبيانات التالية:
8، 12، 8، 10، 14، 8، 10
ج:
8، 12، 8، 10، 14، 8، 10
ج:
- ترتيب البيانات: 8، 8، 8، 10، 10، 12، 14
- الوسيط = 10 (العدد الأوسط)
- المنوال = 8 (كرر 3 مرات)
- المدى = 14 - 8 = 6
الدرس الرابع: التمثيل بالأعمدة وبالخطوط
الفكرة الرئيسية: استخدام الأعمدة للمقارنة بين فئات مختلفة، والخطوط لتوضيح تغير البيانات بمرور الزمن.
التمثيل بالأعمدة (Bar Graph)
خصائص التمثيل بالأعمدة:
- يُستخدم للمقارنة بين فئات مختلفة (مثل مقارنة أعداد الطلاب في فصول مختلفة).
- المحور الأفقي: يمثل الفئات المختلفة.
- المحور الرأسي: يمثل التكرار (العدد أو النسبة).
- ارتفاع العمود يتناسب مع قيمة الفئة التي يمثلها.
مثال: أعداد الطلاب في الصفوف السادس:
صف أ: 25 طالب، صف ب: 30 طالب، صف ج: 20 طالب
(يتم رسم أعمدة ارتفاعها 25، 30، 20 على التوالي)
صف أ: 25 طالب، صف ب: 30 طالب، صف ج: 20 طالب
(يتم رسم أعمدة ارتفاعها 25، 30، 20 على التوالي)
التمثيل بالخطوط (Line Graph)
خصائص التمثيل بالخطوط:
- يُستخدم لتوضيح تغير البيانات بمرور الزمن (مثل درجات الحرارة خلال أسبوع).
- المحور الأفقي: يمثل الزمن (أيام، شهور، سنوات).
- المحور الرأسي: يمثل القيم المقاسة.
- يتم ربط النقاط بخطوط مستقيمة لإظهار اتجاه التغير.
مثال: درجات الحرارة خلال أسبوع:
السبت: 25°، الأحد: 26°، الإثنين: 28°، الثلاثاء: 27°، الأربعاء: 29°
(يتم رسم النقاط ثم ربطها بخطوط)
السبت: 25°، الأحد: 26°، الإثنين: 28°، الثلاثاء: 27°، الأربعاء: 29°
(يتم رسم النقاط ثم ربطها بخطوط)
نشاط: ما الفرق بين التمثيل بالأعمدة والتمثيل بالخطوط؟
ج: الأعمدة تُستخدم للمقارنة بين فئات مختلفة، والخطوط تُستخدم لتوضيح التغير بمرور الزمن.
ج: الأعمدة تُستخدم للمقارنة بين فئات مختلفة، والخطوط تُستخدم لتوضيح التغير بمرور الزمن.
الدرس الخامس: التمثيل بالنقاط
الفكرة الرئيسية: وضع علامة (X) فوق خط الأعداد لتمثيل تكرار كل قيمة، مما يساعد في رؤية "تجمع" البيانات أو وجود قيم متطرفة.
التمثيل بالنقاط (Dot Plot)
خصائص التمثيل بالنقاط:
- يستخدم لتمثيل مجموعة صغيرة من البيانات.
- يُظهر توزيع البيانات بشكل مرئي.
- يساعد في تحديد القيم المتطرفة (Outliers) التي تبعد كثيراً عن باقي البيانات.
- يساعد في رؤية "تجمع" البيانات في منطقة معينة.
طريقة الرسم:
- نرسم خط أعداد يمثل القيم الممكنة.
- لكل قيمة في البيانات، نضع علامة (X) فوق هذه القيمة على خط الأعداد.
- إذا تكررت القيمة، نضع علامة أخرى فوق العلامة السابقة.
مثال: درجات 10 طلاب في اختبار قصير: (5، 6، 5، 7، 8، 5، 6، 7، 5، 9)
التمثيل بالنقاط:
فوق الرقم 5: X X X X (4 مرات)
فوق الرقم 6: X X (2 مرات)
فوق الرقم 7: X X (2 مرات)
فوق الرقم 8: X (1 مرة)
فوق الرقم 9: X (1 مرة)
التمثيل بالنقاط:
فوق الرقم 5: X X X X (4 مرات)
فوق الرقم 6: X X (2 مرات)
فوق الرقم 7: X X (2 مرات)
فوق الرقم 8: X (1 مرة)
فوق الرقم 9: X (1 مرة)
معلومات يمكن استخلاصها من التمثيل بالنقاط:
- القيمة الأكثر تكراراً (المنوال): 5
- المدى: 9 - 5 = 4
- القيم المتطرفة: لا توجد قيم متطرفة بشكل واضح.
- تجمع البيانات حول القيم 5، 6، 7.
مراجعة شاملة - أسئلة واختبارات
نموذج أسئلة المراجعة:
س1: أوجد المتوسط الحسابي للأعداد: 10، 15، 20، 25، 30
ج: المجموع = 100، العدد = 5، المتوسط = 100 ÷ 5 = 20
س2: أوجد الوسيط والمنوال والمدى للأعداد: 7، 3، 8، 7، 5، 9، 7
ج: ترتيب الأعداد: 3، 5، 7، 7، 7، 8، 9
الوسيط = 7، المنوال = 7، المدى = 9 - 3 = 6
س3: في أي الحالات نستخدم التمثيل بالخطوط؟
ج: لتوضيح تغير البيانات بمرور الزمن (مثل درجات الحرارة خلال أيام الأسبوع).
س4: ما الفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط؟
ج: المتوسط الحسابي هو مجموع البيانات مقسوماً على عددها، والوسيط هو العدد الأوسط بعد ترتيب البيانات.
س5: من خلال التمثيل بالنقاط، كيف يمكنك معرفة القيمة الأكثر تكراراً؟
ج: ننظر إلى العلامات (X) فوق خط الأعداد، القيمة التي عليها أكبر عدد من العلامات هي الأكثر تكراراً.
س1: أوجد المتوسط الحسابي للأعداد: 10، 15، 20، 25، 30
ج: المجموع = 100، العدد = 5، المتوسط = 100 ÷ 5 = 20
س2: أوجد الوسيط والمنوال والمدى للأعداد: 7، 3، 8، 7، 5، 9، 7
ج: ترتيب الأعداد: 3، 5، 7، 7، 7، 8، 9
الوسيط = 7، المنوال = 7، المدى = 9 - 3 = 6
س3: في أي الحالات نستخدم التمثيل بالخطوط؟
ج: لتوضيح تغير البيانات بمرور الزمن (مثل درجات الحرارة خلال أيام الأسبوع).
س4: ما الفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط؟
ج: المتوسط الحسابي هو مجموع البيانات مقسوماً على عددها، والوسيط هو العدد الأوسط بعد ترتيب البيانات.
س5: من خلال التمثيل بالنقاط، كيف يمكنك معرفة القيمة الأكثر تكراراً؟
ج: ننظر إلى العلامات (X) فوق خط الأعداد، القيمة التي عليها أكبر عدد من العلامات هي الأكثر تكراراً.
جدول ملخص مقاييس النزعة المركزية والتشتت
| المقياس | التعريف | طريقة الحساب | مثال |
|---|---|---|---|
| المتوسط الحسابي | معدل البيانات | مجموع البيانات ÷ عددها | متوسط درجات 8،9،7 هو 8 |
| الوسيط | العدد الأوسط | ترتيب البيانات ثم إيجاد العدد الأوسط | وسيط 3،5،7،9 هو 6 |
| المنوال | القيمة الأكثر تكراراً | إحصاء تكرار كل قيمة | منوال 2،2،3،4 هو 2 |
| المدى | فارق البيانات | أكبر قيمة - أصغر قيمة | مدى 2،5،8 هو 6 |
جدول ملخص أنواع التمثيلات البيانية
| نوع التمثيل | الاستخدام | المحور الأفقي | المحور الرأسي |
|---|---|---|---|
| الأعمدة | المقارنة بين الفئات | الفئات المختلفة | التكرار (العدد) |
| الخطوط | التغير بمرور الزمن | الزمن (أيام، شهور) | القيم المقاسة |
| النقاط | توزيع البيانات | القيم الممكنة | تكرار كل قيمة (بعلامات X) |