حل فصل الجبر الأعداد النسبية رياضيات ثاني متوسط

• كسر اعتيادي: 3/4، 5/2، 7/8
• كسر عشري منتهي: 0.25 = 1/4، 0.5 = 1/2، 0.75 = 3/4
• كسر عشري دوري: 0.333… = 1/3، 0.666… = 2/3، 0.1666… = 1/6

• 0.333… = 1/3 (لأن 0.333… × 3 = 1)
• 0.666… = 2/3
• 0.1666… = 1/6

تدرب وحل المسائل:
س: اكتب العدد العشري على صورة كسر اعتيادي:
1. 0.4 = 4/10 = 2/5
2. 0.125 = 125/1000 = 1/8
3. 0.666… = 2/3

1. توحيد المقامات (للكسور الاعتيادية).
2. تحويل الكسور إلى أعداد عشرية ثم المقارنة.
3. استخدام خط الأعداد للمقارنة.

• > (أكبر من) → 5 > 3
• < (أصغر من) → 3 < 5
• = (يساوي) → 2/4 = 1/2

• قارن بين 2/3 و 3/4: م.م.أ (3،4) = 12 → 8/12 < 9/12 ← 2/3 < 3/4
• قارن بين 0.5 و 0.25: 0.5 > 0.25
• قارن بين -1/2 و -1/3: -1/2 < -1/3 (لأن -0.5 < -0.333)

• حوّل جميع الأعداد إلى كسور ذات مقام موحد.
• أو حولها إلى أعداد عشرية ثم رتبها.

مثال: رتب 1/2، 0.75، 3/4، 0.6 ترتيباً تصاعدياً.
ج: 1/2 = 0.5، 3/4 = 0.75 ← 0.5، 0.6، 0.75، 0.75 → 0.5 < 0.6 < 0.75 = 0.75

• (+) × (+) = (+)
• (+) × (-) = (-)
• (-) × (+) = (-)
• (-) × (-) = (+)

• 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15
• (-3/4) × (2/5) = (-3×2)/(4×5) = -6/20 = -3/10
• (-2/3) × (-5/7) = (2×5)/(3×7) = 10/21

• 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
• (-3/4) ÷ 2/5 = -3/4 × 5/2 = -15/8
• (-2/3) ÷ (-5/7) = -2/3 × -7/5 = 14/15

• 3/7 + 2/7 = (3+2)/7 = 5/7
• 5/8 – 3/8 = (5-3)/8 = 2/8 = 1/4
• (-4/9) + 2/9 = (-4+2)/9 = -2/9
• 7/10 – (-2/10) = (7+2)/10 = 9/10

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامات.
2. حوّل كل كسر إلى كسر مكافئ له مقامه = م.م.أ.
3. اجمع أو اطرح البسطين مع بقاء المقام كما هو.
4. بسّط الناتج إذا أمكن.

• 1/2 + 1/3: م.م.أ (2,3) = 6 → 3/6 + 2/6 = 5/6
• 3/4 – 1/6: م.م.أ (4,6) = 12 → 9/12 – 2/12 = 7/12
• 2/5 + (-3/10): م.م.أ (5,10) = 10 → 4/10 – 3/10 = 1/10
• 2⅓ + 1½: (7/3) + (3/2): م.م.أ (3,2) = 6 → 14/6 + 9/6 = 23/6 = 3⅚

س1: اكتب 3/4 على صورة كسر عشري.
ج: 0.75

س2: قارن بين 2/5 و 0.4.
ج: 2/5 = 0.4 ← متساويان

س3: أوجد ناتج (-2/3) × (3/4).
ج: -6/12 = -1/2

س4: أوجد ناتج 3/4 ÷ 1/2.
ج: 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1½

س5: أوجد ناتج 2/5 + 3/10.
ج: 4/10 + 3/10 = 7/10

• أ⁰ = 1 (أ ≠ 0)
• أ¹ = أ
• أ⁻ⁿ = 1/أⁿ (الأس السالب = مقلوب الأساس المرفوع لأس موجب)
• (أ × ب)ⁿ = أⁿ × بⁿ
• (أ ÷ ب)ⁿ = أⁿ ÷ بⁿ
• أⁿ × أᵐ = أⁿ⁺ᵐ
• أⁿ ÷ أᵐ = أⁿ⁻ᵐ
• (أⁿ)ᵐ = أⁿˣᵐ

• 3⁻² = 1/3² = 1/9
• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
• 4⁻¹ = 1/4
• (1/2)⁻² = 2² = 4

• 1 ≤ أ < 10 (أ عدد عشري بين 1 و 10)
• ن أس صحيح (موجب للأعداد الكبيرة، سالب للأعداد الصغيرة)

• 300,000,000 = 3 × 10⁸
• 5,000,000 = 5 × 10⁶
• 123,000 = 1.23 × 10⁵

• 0.0003 = 3 × 10⁻⁴
• 0.000007 = 7 × 10⁻⁶
• 0.000123 = 1.23 × 10⁻⁴

• 4.5 × 10³ = 4.5 × 1000 = 4,500
• 2.3 × 10⁻² = 2.3 × 0.01 = 0.023

س1: اكتب العدد 0.75 على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.
ج: 75/100 = 3/4

س2: رتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر: 1/2، 0.4، 3/5، 0.666…
ج: 0.4 = 0.4، 1/2 = 0.5، 0.6 = 0.6، 0.666… = 0.666… ← 0.4 < 0.5 < 0.6 < 0.666…

س3: أوجد ناتج (-2/3) × (3/4) × (-5/6)
ج: (-2×3×-5)/(3×4×6) = 30/72 = 5/12

س4: أوجد ناتج (3/4) ÷ (-2/5)
ج: 3/4 × -5/2 = -15/8

س5: أوجد ناتج 2/3 + 1/4 – 5/6
ج: م.م.أ (3,4,6) = 12 → 8/12 + 3/12 – 10/12 = 1/12

س6: أحسب قيمة 4⁻²
ج: 1/16

س7: اكتب 0.000056 بالصيغة العلمية
ج: 5.6 × 10⁻⁵

س8: مسألة مهارات تفكير عليا: إذا كان أ/ب = 2/3، أوجد قيمة 3أ في أبسط صورة.
ج: بما أن أ/ب = 2/3 ← 3أ/ب = 3 × 2/3 = 2