حل الفصل الرابع تحليل الدوال الخطية رياضيات ثالث متوسط

تعريف المتتابعة الحسابية (Arithmetic Sequence):
هي متتابعة يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً. هذا الفرق يسمى الأساس (Common Difference – d).

قانون الحد النوني للمتتابعة الحسابية:

• أⁿ: الحد النوني (قيمة الحد في المرتبة ن)
• أ¹: الحد الأول للمتتابعة
• د: الأساس (الفرق الثابت بين الحدود)
• ن: رقم الحد (المرتبة)

إيجاد الأساس (د):
د = الحد الثاني – الحد الأول = الحد الثالث – الحد الثاني = …

مثال 1: أوجد الحد العاشر في المتتابعة: 3، 5، 7، 9، …
الحل:

• أ¹ = 3
• د = 5 – 3 = 2
• ن = 10
• أ¹⁰ = 3 + (10 – 1) × 2 = 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21

مثال 2: هل المتتابعة 2، 4، 8، 16، … حسابية؟
ج: لا، لأن الفرق غير ثابت:

• 4 – 2 = 2
• 8 – 4 = 4
• 16 – 8 = 8

الأساس ليس ثابتاً، فهي ليست متتابعة حسابية بل هندسية.

تمرين: أوجد الحد الخامس عشر في المتتابعة: 5، 8، 11، 14، …
ج: أ¹ = 5، د = 3، ن = 15
أ¹⁵ = 5 + (15 – 1) × 3 = 5 + 14 × 3 = 5 + 42 = 47

تمرين 2: أوجد الحد الأول إذا كان الحد السابع = 25 والأساس = 3
ج: أ⁷ = أ¹ + (7 – 1) × 3 = 25
أ¹ + 18 = 25 ← أ¹ = 7

تمرين 3: اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة: 2، 5، 8، 11، …
ج: أ¹ = 2، د = 3
أⁿ = 2 + (ن – 1) × 3 = 2 + 3ن – 3 = 3ن – 1

عناصر التمثيل البياني للدالة الخطية:

• الميل (Slope – m): يمثل معدل التغير. في سياق المسألة، قد يعني السرعة، معدل التكلفة، أو الاستهلاك اليومي.
• المقطع الصادي (y-intercept – b): قيمة المتغير عندما س = 0. يمثل القيمة الأولية أو نقطة البداية.
• المقطع السيني (x-intercept): قيمة س عندما ص = 0. يمثل نقطة التعادل أو وقت انتهاء شيء ما.

تحليل الرسم البياني في مواقف واقعية:

• إذا كان المقطع الصادي يمثل “سعر الجهاز الأصلي” والميل يمثل “الاستهلاك الشهري”، فإن هبوط الخط المستقيم يعني تناقص قيمة الجهاز مع مرور الزمن.
• إذا كان الميل موجباً، فهذا يعني زيادة في القيمة.
• إذا كان الميل سالباً، فهذا يعني نقصان في القيمة.
• إذا كان الميل صفراً، فهذا يعني ثبات القيمة.

مثال تطبيقي 1:
إذا كان الرسم البياني يمثل قيمة سيارة متناقصة بمعدل 5000 ريال سنوياً، وكانت قيمتها الابتدائية 80000 ريال.
ج:

• المقطع الصادي = 80000 (القيمة الابتدائية)
• الميل = -5000 (الانخفاض السنوي)
• المعادلة: ص = -5000س + 80000
• بعد 5 سنوات: ص = -5000(5) + 80000 = 55000 ريال

مثال تطبيقي 2:
إذا كان الرسم البياني يمثل المسافة المقطوعة بسيارة بسرعة ثابتة 60 كم/ساعة، وانطلقت من نقطة البداية (0).
ج:

• المقطع الصادي = 0 (نقطة البداية)
• الميل = 60 (السرعة)
• المعادلة: ص = 60س
• بعد 3 ساعات: ص = 60 × 3 = 180 كم

تمرين (تحليل الرسم البياني):
إذا كان الخط المستقيم يمثل انخفاض درجة الحرارة بمعدل 2 درجة كل ساعة، وكانت درجة الحرارة الابتدائية 30 درجة.
ج:

• المعادلة: د = -2س + 30
• درجة الحرارة بعد 5 ساعات: د = -2(5) + 30 = 20 درجة
• بعد كم ساعة تصبح درجة الحرارة 0؟ 0 = -2س + 30 ← 2س = 30 ← س = 15 ساعة

✅ نموذج الإجابات:

س1: أوجد الحد العشرين في المتتابعة: 4، 7، 10، 13، …
ج: أ¹ = 4، د = 3، ن = 20
أ²⁰ = 4 + (20 – 1) × 3 = 4 + 57 = 61

س2: اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة: 1، 4، 7، 10، …
ج: أ¹ = 1، د = 3
أⁿ = 1 + (ن – 1) × 3 = 1 + 3ن – 3 = 3ن – 2

س3: هل المتتابعة 1، 4، 9، 16، … حسابية؟
ج: لا، الفروق: 3، 5، 7 (غير ثابتة)

س4: إذا كان المقطع الصادي يمثل رأس المال الأولي (10000 ريال) والميل (500 ريال) يمثل الربح الشهري، فما المعادلة؟
ج: ص = 500س + 10000

س5: في المسألة السابقة، كم يصبح المبلغ بعد 6 أشهر؟
ج: ص = 500 × 6 + 10000 = 3000 + 10000 = 13000 ريال

س6: إذا كان الخط المستقيم في الرسم البياني ينخفض من (0, 100) إلى (5, 0)، فما ميله؟
ج: م = (0 – 100)/(5 – 0) = -100/5 = -20
(يعني انخفاضاً بمعدل 20 وحدة كل سنة)