العلاقات والدوال الخطية رياضيات الثالث متوسط
الدرس 2-1: العلاقات (Relations)
الفكرة الرئيسية: تمثيل العلاقات بأكثر من طريقة (الأزواج المرتبة، الجدول، المخطط السهمي، والتمثيل البياني)، وتحديد المجال والمدى.
العلاقات
هي مجموعة من الأزواج المرتبة (س، ص) التي تربط بين عناصر مجموعتين.
- الأزواج المرتبة: {(1,2), (2,4), (3,6)}
- الجدول: جدول يوضح قيم س وقيم ص
- المخطط السهمي: أسهم تربط بين عناصر المجال والمدى
- التمثيل البياني: رسم النقاط على المستوى الإحداثي
- المجال (Domain): مجموعة قيم س (المدخلات).
- المدى (Range): مجموعة قيم ص (المخرجات).
إذا كانت العلاقة {(1,2), (3,4), (5,6)} فإن:
المجال = {1, 3, 5}
المدى = {2, 4, 6}
ج:
- الجدول:
س ص 0 1 1 3 2 5 3 7 - التمثيل البياني: النقاط (0,1), (1,3), (2,5), (3,7) على المستوى الإحداثي.
الدرس 2-2: الدوال (Functions)
الفكرة الرئيسية: كيفية تمييز الدالة عن غيرها، واستخدام اختبار الخط الرأسي، وحساب قيم الدوال باستخدام رموزها (مثل f(x)).
الدوال
هي علاقة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى (لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط).
إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني للدالة في أكثر من نقطة واحدة، فالعلاقة ليست دالة.
نكتب الدالة على الصورة f(x) = 2x + 1، وتقرأ “f of x”.
إذا كانت f(x) = 2x + 1، فأوجد:
- f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
- f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1
- f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3
هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).
تمرين (حساب قيم الدوال):
إذا كانت g(x) = 3x – 4، فأوجد:
1. g(2) = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2
2. g(5) = 3(5) – 4 = 15 – 4 = 11
3. g(0) = 3(0) – 4 = 0 – 4 = -4
الدرس 2-3: تمثيل المعادلات الخطية بيانياً
الفكرة الرئيسية: شرح كيفية كتابة المعادلة في الصورة القياسية وإيجاد المقطع السيني والمقطع الصادي لتمثيلها.
تمثيل المعادلات الخطية بيانياً
أ س + ب ص = ج، حيث أ، ب، ج أعداد صحيحة، وأ ≠ 0.
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور السيني (ص = 0).
المقطع الصادي (y-intercept):
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور الصادي (س = 0).
- لإيجاد المقطع السيني: نضع ص = 0 → 2س = 8 → س = 4 ← النقطة (4,0)
- لإيجاد المقطع الصادي: نضع س = 0 → 4ص = 8 → ص = 2 ← النقطة (0,2)
1. 3س + 2ص = 12 → سيني: (4,0) ، صادي: (0,6)
2. 5س – 3ص = 15 → سيني: (3,0) ، صادي: (0,-5)
3. س + 2ص = 6 → سيني: (6,0) ، صادي: (0,3)
ج: المقطع السيني (4,0)، المقطع الصادي (0,3). نرسم النقطتين ونصل بينهما.
الدرس 2-4: حل المعادلات الخطية بيانياً
الفكرة الرئيسية: يربط بين حل المعادلة وإيجاد جذر المعادلة أو “صفر الدالة” من خلال التمثيل البياني.
حل المعادلات الخطية بيانياً
هو قيمة المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.
صفر الدالة (Zero of the Function):
هو قيمة س التي تجعل f(x) = 0.
جذر المعادلة هو المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة.
ج: نرسم الدالة f(x) = 2س – 4. المقطع السيني هو (2,0)، إذن الحل هو س = 2.
1. 3س – 6 = 0 ← س = 2
2. 4س + 8 = 0 ← س = -2
3. 5س – 10 = 0 ← س = 2
الدرس 2-5: معدل التغير والميل
الفكرة الرئيسية: كيفية حساب الميل بين نقطتين واستخدام معدل التغير لوصف العلاقة الخطية.
معدل التغير والميل
هو مقياس لانحدار الخط المستقيم، ويمثل معدل التغير في قيم ص بالنسبة للتغير في قيم س.
- موجب: الخط يرتفع من اليسار إلى اليمين
- سالب: الخط ينخفض من اليسار إلى اليمين
- صفر: الخط أفقي (تغير ص = 0)
- غير معرف: الخط رأسي (تغير س = 0)
- النقطتان (2, 3) و (5, 7): م = (7 – 3)/(5 – 2) = 4/3 = 1.33
- النقطتان (-1, 2) و (3, 6): م = (6 – 2)/(3 – (-1)) = 4/4 = 1
- النقطتان (4, 5) و (4, 8): م = (8 – 5)/(4 – 4) = 3/0 = غير معرف (خط رأسي)
- النقطتان (2, 7) و (5, 7): م = (7 – 7)/(5 – 2) = 0/3 = 0 (خط أفقي)
ج: م = (-5 – 2)/(4 – (-3)) = -7/7 = -1
اختبار منتصف الفصل
نموذج اختبار منتصف الفصل
س1: حدد المجال والمدى للعلاقة {(2,4), (4,8), (6,12)}
ج: المجال = {2, 4, 6}، المدى = {4, 8, 12}
س2: هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟ لماذا؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).
س3: إذا كانت f(x) = 4x – 3، فأوجد f(5).
ج: f(5) = 4(5) – 3 = 20 – 3 = 17
س4: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 3س + 6ص = 12
ج: سيني: (4,0)، صادي: (0,2)
س5: أوجد الميل بين النقطتين (1, 2) و (4, 8)
ج: م = (8 – 2)/(4 – 1) = 6/3 = 2
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
نموذج اختبار الفصل الثاني
س1: اكتب العلاقة {(0,2), (1,4), (2,6), (3,8)} في صورة جدول.
ج:
| س | ص |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 8 |
س2: هل التمثيل البياني الذي يقطع فيه الخط الرأسي أكثر من نقطة يمثل دالة؟
ج: لا، إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فالعلاقة ليست دالة.
س3: إذا كانت f(x) = 2x² – 3، فأوجد f(4).
ج: f(4) = 2(4)² – 3 = 2(16) – 3 = 32 – 3 = 29
س4: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 4س – 2ص = 8
ج: سيني: (2,0)، صادي: (0,-4)
س5: أوجد الميل بين النقطتين (-2, 3) و (4, -5)
ج: م = (-5 – 3)/(4 – (-2)) = -8/6 = -4/3
س6: حل المعادلة 2س – 6 = 0 بيانياً
ج: س = 3
55 تعليق على العلاقات والدوال الخطية رياضيات الثالث متوسط