الفصل الثامن القواسم والمضاعفات رياضيات

تمارين تنشيطية:

1. أوجد ناتج الضرب: 6 × 7 = ______
2. أوجد ناتج القسمة: 36 ÷ 4 = ______
3. أكمل جدول الضرب: 8 × 7 = ______، 9 × 6 = ______
4. أي الأعداد التالية يقبل القسمة على 2؟ 15، 20، 27، 32

الإجابة: 42 / 9 / 56، 54 / 20، 32

ما هو القاسم (Divisor)؟ القاسم هو عدد صحيح يقبل عدد آخر القسمة عليه دون باقٍ. ويسمى أيضاً “العامل”.

مثال: قواسم العدد 12 هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12 (لأن 12 ÷ 1 = 12، 12 ÷ 2 = 6، 12 ÷ 3 = 4، 12 ÷ 4 = 3، 12 ÷ 6 = 2، 12 ÷ 12 = 1).

ما هو المضاعف (Multiple)؟ المضاعف هو ناتج ضرب عدد في عدد صحيح آخر (1، 2، 3، …).

مثال: مضاعفات العدد 5 هي: 5، 10، 15، 20، 25، 30، … (ناتج 5×1، 5×2، 5×3، …)

تمرين (تأكد):

1. أوجد قواسم العدد 18: ______
2. أوجد أول 5 مضاعفات للعدد 7: ______
3. أوجد قواسم العدد 24: ______
4. أوجد أول 6 مضاعفات للعدد 4: ______

الإجابة: 1، 2، 3، 6، 9، 18 / 7، 14، 21، 28، 35 / 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24 / 4، 8، 12، 16، 20، 24

الأعداد الأولية (Prime Numbers): هي الأعداد التي لها قاسمان فقط هما (1) والعدد نفسه.

أمثلة: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، …

ملاحظة: العدد 1 ليس أولياً وليس غير أولي (تركيبياً).

الأعداد غير الأولية (Composite Numbers): هي الأعداد التي لها أكثر من قاسمين. تسمى أيضاً “الأعداد المؤلفة”.

أمثلة: 4 (قواسمه: 1، 2، 4)، 6 (قواسمه: 1، 2، 3، 6)، 8، 9، 10، 12، 14، 15، 16، 18، 20، 21، 22، 24، 25، …

كيف نحدد هل العدد أولي أم غير أولي؟

• نجرب قسمته على الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، …)
• إذا لم يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من جذره التربيعي، فهو أولي.

تمرين (صنف الأعداد التالية إلى أولي أو غير أولي):

1. 17 → أولي
2. 21 → غير أولي (3 × 7)
3. 29 → أولي
4. 49 → غير أولي (7 × 7)
5. 13 → أولي
6. 15 → غير أولي (3 × 5)
7. 2 → أولي
8. 1 → ليس أولياً ولا غير أولي

نشاط عملي (استخدام المكعبات أو النقاط):

• العدد 5: يمكن ترتيب 5 مكعبات على شكل صف واحد فقط (5×1). لا يمكن ترتيبها على شكل مستطيل بأبعاد مختلفة. هذا يعني أن 5 عدد أولي.
• العدد 6: يمكن ترتيب 6 مكعبات على شكل مستطيل (2×3) أو (3×2) أو (6×1). هذا يعني أن 6 عدد غير أولي (مؤلف).

القواسم المشتركة (Common Divisors): هي الأعداد التي تقسم عددين أو أكثر دون باقٍ.

مثال: أوجد القواسم المشتركة للعددين 12 و 18.

• قواسم 12: 1، 2، 3، 4، 6، 12
• قواسم 18: 1، 2، 3، 6، 9، 18
• القواسم المشتركة: 1، 2، 3، 6

تمرين (أوجد القواسم المشتركة):

1. العددان 8 و 12 → القواسم المشتركة: ______
2. العددان 15 و 20 → القواسم المشتركة: ______
3. العددان 24 و 36 → القواسم المشتركة: ______

الإجابة: 1، 2، 4 / 1، 5 / 1، 2، 3، 4، 6، 12

القاسم المشترك الأكبر (GCD / GCF): هو أكبر عدد يقسم عددين أو أكثر دون باقٍ.

طرق إيجاد ق.م.أ:

• الطريقة الأولى (إدراج القواسم): نكتب قواسم كل عدد ثم نختار أكبر قاسم مشترك.

  مثال: ق.م.أ (12، 18) = 6

• الطريقة الثانية (تحليل العدد إلى عوامله الأولية): نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نضرب العوامل المشتركة بأصغر أس.

  12 = 2² × 3
  18 = 2 × 3²
  ق.م.أ = 2 × 3 = 6

تمرين (أوجد ق.م.أ):

1. ق.م.أ (24، 36) = ______
2. ق.م.أ (15، 25) = ______
3. ق.م.أ (16، 24، 32) = ______
4. ق.م.أ (7، 13) = ______ (عددان أوليان مختلفان)

الإجابة: 12 / 5 / 8 / 1

استراتيجية البحث عن نمط (Look for a Pattern): نلاحظ العلاقة بين الأعداد المتتالية في متتالية ما للتنبؤ بالأعداد التالية.

تمرين:

1. أكمل النمط: 2، 4، 6، 8، 10، ______، ______
2. أكمل النمط: 5، 10، 15، 20، ______، ______
3. أكمل النمط: 3، 6، 12، 24، ______، ______

الإجابة: 12، 14 / 25، 30 / 48، 96

المضاعفات المشتركة (Common Multiples): هي الأعداد التي تقبل القسمة على عددين أو أكثر في نفس الوقت.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM): هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على عددين أو أكثر.

طرق إيجاد م.م.أ:

• الطريقة الأولى (إدراج المضاعفات): نكتب مضاعفات كل عدد ثم نختار أصغر مضاعف مشترك.

  مثال: م.م.أ (4، 6)
  مضاعفات 4: 4، 8، 12، 16، 20، …
  مضاعفات 6: 6، 12، 18، 24، …
  م.م.أ = 12

• الطريقة الثانية (تحليل العدد إلى عوامله الأولية): نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية، ثم نضرب العوامل بأكبر أس.

  4 = 2²
  6 = 2 × 3
  م.م.أ = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

تمرين (أوجد م.م.أ):

1. م.م.أ (3، 5) = ______
2. م.م.أ (4، 10) = ______
3. م.م.أ (6، 8) = ______
4. م.م.أ (9، 12) = ______
5. م.م.أ (2، 3، 4) = ______

الإجابة: 15 / 20 / 24 / 36 / 12

سؤال 1 (أوجد قواسم العدد): قواسم العدد 36 هي: ______
الإجابة: 1، 2، 3، 4، 6، 9، 12، 18، 36

سؤال 2 (حدد هل العدد أولي أم غير أولي): 31 (أولي)، 45 (غير أولي)، 19 (أولي)، 27 (غير أولي)

سؤال 3 (أوجد القواسم المشتركة): القواسم المشتركة للعددين 16 و 24 هي: ______
الإجابة: 1، 2، 4، 8

اكتشف الخطأ: قال طالب أن قواسم العدد 20 هي: 1، 2، 4، 5، 10. هل هذا صحيح؟
الإجابة: خطأ، لأن العدد 20 له 6 قواسم: 1، 2، 4، 5، 10، 20 (لم يذكر 20).

تحدي: أوجد ق.م.أ (24، 36، 48) ذهنياً.
الإجابة: ق.م.أ = 12

مسألة مفتوحة: اكتب عددين أوليين مجموعهما 30.
الإجابة: 13 + 17 = 30، 11 + 19 = 30، 7 + 23 = 30.

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. أي مما يلي هو قاسم للعدد 28؟ (أ) 5 (ب) 6 (ج) 7 (د) 9)
2. العدد الأولي هو العدد الذي له ______ قاسمان. (أ) 1 (ب) 2 (ج) 3 (د) 4)
3. ق.م.أ (18، 27) = ______ (أ) 6 (ب) 7 (ج) 8 (د) 9)
4. م.م.أ (6، 10) = ______ (أ) 20 (ب) 30 (ج) 40 (د) 60)

الإجابة: ج / ب / د / ب

سؤال 2 (أكمل الفراغ):

1. أصغر عدد أولي في الأعداد الطبيعية هو ______.
2. العدد 1 ______ أولياً و ______ غير أولياً.
3. ق.م.أ (9، 12) = ______
4. م.م.أ (4، 8) = ______

الإجابة: 2 / ليس / ليس / 3 / 8

سؤال 3 (مسألة لفظية): خزان مياه يحتاج إلى تنظيف كل 6 أيام، وخزان آخر كل 8 أيام. إذا تم تنظيفهما معاً اليوم، فبعد كم يوماً سيتم تنظيفهما معاً مرة أخرى؟
الإجابة: م.م.أ (6، 8) = 24 يوماً.

سؤال 1 (جمع وطرح كسور): 1/3 + 1/4 = ______
الإجابة: 4/12 + 3/12 = 7/12

سؤال 2 (ضرب كسور): 2/5 × 3/4 = ______
الإجابة: 6/20 = 3/10

سؤال 3 (قواسم ومضاعفات): قواسم العدد 30 هي: ______
الإجابة: 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30

سؤال 4 (أعداد أولية): هل العدد 37 أولي أم غير أولي؟
الإجابة: أولي

سؤال 5 (ق.م.أ): ق.م.أ (20، 28) = ______
الإجابة: 4