الفصل الثاني عشر (الكسور العشرية)

ما هو العُشْر؟ العُشْر هو جزء واحد من عشرة أجزاء متساوية. يُكتب الكسر العشري الذي يمثل العُشْر على صورة: (0.1).

العلاقة بين الكسر الاعتيادي والكسر العشري (الأعشار):

• 1/10 = 0.1 (يقرأ: واحد من عشرة أو صحيح واحد من عشرة)
• 3/10 = 0.3 (يقرأ: ثلاثة أعشار)
• 7/10 = 0.7 (يقرأ: سبعة أعشار)
• 10/10 = 1 (صحيح واحد)

تمرين (تأكد وتدرب):

1. اكتب الكسر العشري الذي يمثل 4 أعشار: ______
2. اكتب الكسر الاعتيادي الذي يمثل 0.9: ______
3. حول 2/10 إلى كسر عشري: ______
4. حول 0.5 إلى كسر اعتيادي: ______

الإجابة: 0.4 / 9/10 / 0.2 / 5/10 = 1/2

ما هو الجزء من مئة؟ هو جزء واحد من مئة جزء متساوي. يُكتب الكسر العشري الذي يمثل جزءاً من مئة على صورة: (0.01).

العلاقة بين الكسر الاعتيادي والكسر العشري (الأجزاء من مئة):

• 1/100 = 0.01 (يقرأ: واحد من مئة أو صحيح صفر واحد من مئة)
• 25/100 = 0.25 (يقرأ: خمسة وعشرون من مئة)
• 75/100 = 0.75 (يقرأ: خمسة وسبعون من مئة)
• 100/100 = 1.00 (واحد صحيح)

ملاحظة: 10 أجزاء من مئة = 1 جزء من عشرة (1/10 = 10/100 = 0.10 = 0.1).

تمرين (تأكد وتدرب):

1. اكتب الكسر العشري الذي يمثل 35 جزءاً من مئة: ______
2. اكتب الكسر الاعتيادي الذي يمثل 0.45: ______
3. حول 8/100 إلى كسر عشري: ______
4. حول 0.03 إلى كسر اعتيادي: ______

الإجابة: 0.35 / 45/100 = 9/20 / 0.08 / 3/100

استراتيجية إنشاء أنموذج (النمذجة): نستخدم نماذج بصرية (مثل شبكة من 100 مربع، أو خط أعداد) لتمثيل الكسور العشرية وفهمها بشكل أفضل.

مثال: استخدم شبكة من 100 مربع لتمثيل الكسر 0.25. (لون 25 مربعاً).

تمرين: استخدم نموذج شبكة من 100 مربع لتمثيل 0.7. كم مربعاً ستلون؟
الإجابة: 70 مربعاً (لأن 0.7 = 70/100).

كيف نمثل الكسور العشرية على خط الأعداد؟

1. نرسم خطاً أفقياً ونضع علامة 0 على اليسار وعلامة 1 على اليمين.
2. نقسم المسافة بين 0 و1 إلى 10 أجزاء متساوية (تمثل الأعشار).
3. نقسم كل جزء من هذه الأجزاء إلى 10 أجزاء صغيرة (تمثل الأجزاء من مئة).
4. نحدد مكان الكسر العشري بناءً على منزلة الأعشار والمئات.

تمرين (تمثيل على خط الأعداد): مثل الكسور العشرية التالية على خط الأعداد: 0.3، 0.55، 0.8.
الإجابة: يقوم الطالب برسم خط الأعداد وتحديد نقاط 0.3 (بعد 3 أجزاء من 0-1 مقسمة إلى 10)، 0.55 (بين 0.5 و0.6 أقرب إلى 0.6)، 0.8 (بعد 8 أجزاء).

كيف نحول كسراً اعتيادياً مقامه 10 أو 100 أو 1000 إلى كسر عشري؟

• إذا كان المقام 10: نكتب البسط ونضع الفاصلة بحيث يكون آخر رقم في منزلة الأعشار. (مثال: 7/10 = 0.7)
• إذا كان المقام 100: نكتب البسط ونضع الفاصلة بحيث يكون آخر رقمين في منزلتي المئات والأعشار. (مثال: 45/100 = 0.45)
• إذا كان البسط أقل من المقام، نضيف صفراً أو أكثر بعد الفاصلة. (مثال: 5/100 = 0.05)

كيف نحول كسراً عشرياً إلى كسر اعتيادي؟

• نكتب الرقم (بدون الفاصلة) في البسط.
• نكتب في المقام 1 متبوعاً بأصفار بعدد المنازل العشرية.
• نبسط الكسر إذا أمكن.

أمثلة: 0.5 = 5/10 = 1/2، 0.75 = 75/100 = 3/4، 0.125 = 125/1000 = 1/8

تمرين (تحويل الكسور):

1. حول 3/10 إلى كسر عشري: ______
2. حول 27/100 إلى كسر عشري: ______
3. حول 0.6 إلى كسر اعتيادي: ______
4. حول 0.45 إلى كسر اعتيادي في أبسط صورة: ______
5. حول 8/1000 إلى كسر عشري: ______

الإجابة: 0.3 / 0.27 / 6/10 = 3/5 / 45/100 = 9/20 / 0.008

كيف نقارن بين كسرين عشريين؟

1. قارن الأعداد الصحيحة (الجزء الصحيح). الكسر ذو الجزء الصحيح الأكبر هو الأكبر.
2. إذا كان الجزء الصحيح متساوياً، قارن منزلة الأعشار. الكسر ذو الأعشار الأكبر هو الأكبر.
3. إذا كان الأعشار متساوياً، قارن منزلة المئات، وهكذا.

أمثلة على المقارنة:

• 2.5 > 1.8 (لأن 2 > 1)
• 3.25 < 3.5 (لأن الأعشار 2 < 5)
• 4.125 < 4.13 (لأن 4.125 = 4.125، 4.13 = 4.130، 125 < 130)
• 5.60 = 5.6

تمرين (ضع علامة > أو < أو =):

1. 0.5 ______ 0.50
2. 0.7 ______ 0.07
3. 2.35 ______ 2.4
4. 1.25 ______ 1.25
5. 0.09 ______ 0.1

الإجابة: = / > / < / = / <

تمرين (ترتيب الكسور العشرية تصاعدياً وتنازلياً):

رتب الأعداد التالية تصاعدياً (من الأصغر إلى الأكبر): 0.5، 0.25، 0.75، 0.1

الإجابة: 0.1، 0.25، 0.5، 0.75

بعض الكسور الاعتيادية الشهيرة وما يعادلها من كسور عشرية:

• 1/2 = 0.5
• 1/4 = 0.25
• 3/4 = 0.75
• 1/5 = 0.2
• 2/5 = 0.4
• 3/5 = 0.6
• 4/5 = 0.8
• 1/8 = 0.125
• 3/8 = 0.375
• 5/8 = 0.625
• 7/8 = 0.875

تمرين (أكمل المكافئ):

1. 1/2 = ______
2. 3/4 = ______
3. 0.2 = ______
4. 0.125 = ______

الإجابة: 0.5 / 0.75 / 1/5 / 1/8

اكتشف الخطأ:

قام طالب بتحويل 0.25 إلى كسر اعتيادي فكتب 25/100، ثم اختصرها إلى 1/4. هل هذا صحيح؟ إن كان خاطئاً فصححه.

الإجابة: صحيح تماماً، 0.25 = 25/100 = 1/4.

تحدي:

أوجد الكسر العشري الذي يقع في منتصف المسافة بين 0.4 و0.5 على خط الأعداد.

الإجابة: 0.45 (لأن (0.4+0.5)/2 = 0.45)

مسألة مفتوحة:

اكتب ثلاثة كسور عشرية تقع بين 0.3 و0.4 على خط الأعداد.

الإجابة (أمثلة): 0.32، 0.35، 0.38.

مسألة واقعية (تدرب وحل المسائل):

في سباق للجري، قطع سعيد مسافة 2.5 كم، وقطع خالد مسافة 2.45 كم. من قطع مسافة أطول؟ وكم الفرق بينهما؟

الإجابة: سعيد قطع مسافة أطول (2.5 > 2.45). الفرق = 2.5 – 2.45 = 0.05 كم.

سؤال 1 (الأعشار): اكتب الكسر العشري المكافئ لـ 7/10. ______
الإجابة: 0.7

سؤال 2 (الأجزاء من مئة): اكتب الكسر الاعتيادي المكافئ لـ 0.35. ______
الإجابة: 35/100 = 7/20

سؤال 3 (التحويل): حول 0.5 إلى كسر اعتيادي. ______
الإجابة: 5/10 = 1/2

سؤال 4 (المقارنة): ضع علامة > أو < أو =: 0.25 ______ 0.3
الإجابة: <

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):
1. الكسر العشري المكافئ لـ 3/10 هو ______ (أ) 0.03 (ب) 0.3 (ج) 0.33 (د) 3.0)
الإجابة: ب
2. 0.45 يقرأ ______ (أ) خمسة وأربعون من مئة (ب) أربعة وخمسون من مئة (ج) خمسة وأربعون جزءاً (د) أربعة وخمسون)
الإجابة: أ
3. 0.5 ______ 0.50 (أ) > (ب) < (ج) = (د) لا)
الإجابة: ج
4. الكسر الاعتيادي المكافئ لـ 0.75 هو ______ (أ) 3/4 (ب) 1/4 (ج) 1/2 (د) 2/3)
الإجابة: أ

سؤال 2 (أكمل الفراغ):
1. 8/100 = ______ (كسر عشري)
2. 0.125 = ______/1000
3. رتب تصاعدياً: 0.2، 0.15، 0.25، 0.1 → ______
الإجابة: 0.08 / 125 / 0.1، 0.15، 0.2، 0.25

سؤال 3 (مسألة لفظية):

اشترت سارة قماشاً طوله 2.5 متراً، وأختها اشترت قماشاً طوله 2.35 متراً. من اشترت قماشاً أطول؟ وكم الفرق بينهما؟

الإجابة: سارة اشترت أطول، الفرق = 2.5 – 2.35 = 0.15 متر.

أسئلة اختيار من متعدد:

1. ناتج 7.5 + 2.25 = ______ (أ) 9.75 (ب) 9.25 (ج) 10.00 (د) 9.50)
   الإجابة: أ

2. الكسر العشري المكافئ لـ 3/5 هو ______ (أ) 0.3 (ب) 0.35 (ج) 0.6 (د) 0.06)
   الإجابة: ج

3. 0.45 ______ 0.5 (أ) > (ب) < (ج) = (د) لا)
   الإجابة: ب

4. المستطيل الذي طوله 8 سم وعرضه 5 سم، مساحته = ______ (أ) 40 سم (ب) 40 سم² (ج) 26 سم (د) 26 سم²)
   الإجابة: ب

5. 3.25 كجم = ______ جم (أ) 325 (ب) 3250 (ج) 32.5 (د) 0.325)
   الإجابة: ب