الفصل الثالث التناسب والتشابه

التناسب (Proportionality):
العلاقة بين كميتين تسمى متناسبة إذا كانت النسبة بينهما ثابتة.
إذا كانت ص = ك × س، فإن ص تتناسب طردياً مع س، و ك هو ثابت التناسب.

كيفية التمييز بين العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة:

• نحسب نسبة ص/س أو س/ص.
• إذا كانت النسبة ثابتة لجميع الأزواج، فالعلاقة متناسبة.
• إذا اختلفت النسبة، فالعلاقة غير متناسبة.

تمارين المقارنة (تمثيل جدولي):

س	ص	نسبة ص/س	تناسب؟
2	4	2	نعم
4	8	2	نعم
6	12	2	نعم

الخلاصة: العلاقة متناسبة (ثابت التناسب = 2)

تأكد: حدد ما إذا كانت العلاقة بين س و ص متناسبة؟

س	ص
1	3
2	6
3	9

ج: 3/1 = 3، 6/2 = 3، 9/3 = 3 ← نعم، متناسبة

س	ص
1	2
2	5
3	8

ج: 2/1 = 2، 5/2 = 2.5، 8/3 ≈ 2.67 ← لا، غير متناسبة

معدل التغير (Rate of Change):
هو مقدار التغير في الكمية ص بالنسبة للتغير في الكمية س.
المعادلة: معدل التغير = Δص/Δس = (ص₂ – ص₁)/(س₂ – س₁)

أمثلة على معدل التغير في المواقف الحياتية:

• السرعة = التغير في المسافة / التغير في الزمن (كم/ساعة).
• سعر الوحدة = التغير في السعر / التغير في الكمية (ريال/كجم).
• معدل الاستهلاك = التغير في الكمية / التغير في الزمن (لتر/يوم).

مثال: حساب السرعة (معدل التغير في المسافة)
إذا قطع قطار 150 كلم في 3 ساعات، فما سرعته؟
ج: معدل التغير = 150 ÷ 3 = 50 كلم/ساعة

تأكد: أوجد معدل التغير في الجدول التالي:

س	ص
1	4
3	10
5	16

ج: معدل التغير = (10-4)/(3-1) = 6/2 = 3

المعدل الثابت للتغير (Constant Rate of Change):
إذا كان معدل التغير يساوي قيمة ثابتة بين جميع الأزواج المرتبة، فهذا يعني أن العلاقة خطية (تمثل خطاً مستقيماً على الرسم البياني).

خصائص المعدل الثابت للتغير:

• يكون التغير في ص متناسباً طردياً مع التغير في س.
• يمثل ميل الخط المستقيم (Slope).
• صيغة المعادلة: ص = م س + ب (حيث م هو المعدل الثابت).

مثال: هل العلاقة لها معدل ثابت للتغير؟

س	ص
0	2
2	6
4	10

ج: (6-2)/(2-0) = 4/2 = 2، (10-6)/(4-2) = 4/2 = 2 ← نعم، ثابت = 2

تأكد: حدد ما إذا كان المعدل ثابتاً أم لا.

س	ص
1	5
2	7
3	9

ج: (7-5)/(2-1) = 2، (9-7)/(3-2) = 2 ← ثابت

قاعدة حل التناسب (الضرب التبادلي):
إذا كان أ/ب = ج/د، فإن أ × د = ب × ج.

أمثلة على حل التناسب:

• س/5 = 12/30 → 30س = 5 × 12 = 60 ← س = 60 ÷ 30 = 2
• 3/4 = 9/س → 3س = 4 × 9 = 36 ← س = 36 ÷ 3 = 12
• 2/س = 8/20 → 2 × 20 = 8س ← 40 = 8س ← س = 5
• 7/س = 14/10 → 7 × 10 = 14س ← 70 = 14س ← س = 5

تمارين الحساب الجبري (حل التناسب):
1. س/8 = 3/4 → 4س = 24 ← س = 6
2. 5/س = 15/30 → 5 × 30 = 15س ← 150 = 15س ← س = 10
3. 3/7 = 12/س → 3س = 84 ← س = 28
4. 9/12 = س/4 → 12س = 36 ← س = 3

✅ نموذج الإجابات:

س1: حدد ما إذا كانت العلاقة متناسبة؟

س	ص
2	6
4	12
6	18

ج: 6/2=3، 12/4=3، 18/6=3 ← نعم متناسبة

س2: أوجد معدل التغير بين النقطتين (2,5) و (6,13).
ج: (13-5)/(6-2) = 8/4 = 2

س3: حل التناسب: س/6 = 8/12
ج: 12س = 48 ← س = 4

تعريف المضلعات المتشابهة (Similar Polygons):
مضلعان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.

خصائص التشابه:

• نسبة التشابه (معامل التشابه) = طول ضلع في المضلع الثاني ÷ طول الضلع المتناظر في المضلع الأول.
• إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية والأضلاع متناسبة، فالمضلعان متشابهان.

تمارين الهندسة (إيجاد طول ضلع مجهول في مثلثين متشابهين):

• مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 3، 4، 5. ومعامل التشابه = 2. فما أطوال الثاني؟
  ج: 6، 8، 10
• في مثلثين متشابهين، إذا كان طول ضلع في الأول 6 سم، وطول الضلع المتناظر في الثاني 9 سم، فما نسبة التشابه؟
  ج: 9/6 = 3/2

تأكد: هل المستطيلان (2×3) و (4×6) متشابهان؟
ج: نعم، نسبة الأضلاع: 4/2 = 2 و 6/3 = 2 ← متشابهان

القياس غير المباشر (Indirect Measurement):
استخدام التشابه والتناسب لحساب أطوال أو مسافات لا يمكن قياسها مباشرة (مثل ارتفاع بناية باستخدام ظل عصا قصيرة).

المبدأ:
ارتفاع الجسم / طول ظله = ارتفاع الجسم الآخر / طول ظله (في نفس الوقت).
لأن أشعة الشمس تشكل مثلثات متشابهة مع الأجسام وأظلتها.

أمثلة على القياس غير المباشر:

1. عصا طولها 2 متر، ظلها 1.5 متر. بناية ظلها 6 أمتار. ما ارتفاع البناية؟
   ج: 2/1.5 = ع/6 ← 1.5 ع = 12 ← ع = 8 أمتار
2. شخص طوله 1.6 متر، ظله 2 متر. في نفس الوقت، ظل شجرة 5 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
   ج: 1.6/2 = ع/5 ← 2ع = 8 ← ع = 4 أمتار

تأكد:
عمود إنارة طوله 6 أمتار، ظله 4 أمتار. في نفس الوقت، ظل شجرة 10 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
ج: 6/4 = ع/10 ← 4ع = 60 ← ع = 15 متراً

نشاط عملي: استخدام برمجيات ديناميكية (مثل GeoGebra) لتكبير أو تصغير أشكال هندسية، وملاحظة أن الزوايا ثابتة والأضلاع تتغير بنسبة ثابتة.

الاستنتاج:

• الأشكال المتشابهة تحافظ على قياسات الزوايا.
• الأضلاع المتناظرة تكون بنسب متساوية (أي متشابهة).
• يمكن إنشاء مضلعات متشابهة بضرب أطوال الأضلاع في عامل قياس ثابت.

نشاط: إذا كان عامل التكبير = 3، ورسمت مربعاً طول ضلعه 2 سم، فما طول ضلع المربع المكبر؟
ج: 2 × 3 = 6 سم

مقياس الرسم (Scale):
هو النسبة بين بعد في الرسم والبعد الحقيقي المقابل له.
أنواعه:

• مقياس رسم كتابي: 1 : 100000 (يقرأ 1 سم على الرسم يقابل 100000 سم = 1 كم في الواقع).
• مقياس رسم خطي: خط متدرج على الخريطة.

قانون مقياس الرسم:
البعد في الرسم ÷ البعد الحقيقي = مقياس الرسم
البعد الحقيقي = البعد في الرسم ÷ مقياس الرسم (إذا كان مقياس الرسم كسراً)
البعد في الرسم = البعد الحقيقي × مقياس الرسم

مسائل حياتية على مقياس الرسم:

1. خريطة مقياس رسمها 1 : 500000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 4 سم. كم المسافة الحقيقية بينهما؟
   ج: 4 × 500000 = 2,000,000 سم = 20 كم
2. إذا كانت المسافة الحقيقية بين قريتين 15 كم، ومقياس الرسم 1 : 300000، فكم المسافة على الخريطة؟
   ج: 15 كم = 1,500,000 سم ← 1,500,000 ÷ 300,000 = 5 سم
3. في نموذج لسيارة، مقياس الرسم 1 : 24، إذا كان طول النموذج 20 سم، فما طول السيارة الحقيقية؟
   ج: 20 × 24 = 480 سم = 4.8 متر

تأكد:
خريطة مقياسها 1 : 250000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 8 سم. كم المسافة الحقيقية؟
ج: 8 × 250000 = 2,000,000 سم = 20 كم

✅ نموذج الإجابات:

س1: حل التناسب: 5/8 = س/24
ج: 8س = 5 × 24 = 120 ← س = 15

س2: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 4، 6، 8. ومعامل التشابه = 1.5. أوجد أطوال الثاني.
ج: 4×1.5 = 6، 6×1.5 = 9، 8×1.5 = 12 ← 6، 9، 12

س3: عصا طولها 1.5 متر، ظلها 2 متر. في نفس الوقت، ظل برج 16 متراً. ما ارتفاع البرج؟
ج: 1.5/2 = ع/16 ← 2ع = 24 ← ع = 12 متراً

س4: خريطة مقياسها 1 : 100000، المسافة على الخريطة 3.5 سم. كم المسافة الحقيقية بالكيلومترات؟
ج: 3.5 × 100000 = 350000 سم = 3.5 كم

س5: مسألة مهارات تفكير عليا (تبرير): لماذا العلاقة 2س + 1 ليست علاقة تناسبية؟
ج: لأن النسبة ص/س غير ثابتة (عند س=1، ص=3 ← 3/1=3؛ عند س=2، ص=5 ← 5/2=2.5؛ النسب مختلفة).