الفصل الثالث التناسب والتشابه
الدرس الأول: العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة
الفكرة الرئيسية: التمييز بين الكميات التي لها نسبة ثابتة (تناسب) والكميات التي لا تملك ذلك.
العلاقات المتناسبة وغير المتناسبة
العلاقة بين كميتين تسمى متناسبة إذا كانت النسبة بينهما ثابتة.
إذا كانت ص = ك × س، فإن ص تتناسب طردياً مع س، و ك هو ثابت التناسب.
- نحسب نسبة ص/س أو س/ص.
- إذا كانت النسبة ثابتة لجميع الأزواج، فالعلاقة متناسبة.
- إذا اختلفت النسبة، فالعلاقة غير متناسبة.
| س | ص | نسبة ص/س | تناسب؟ |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 | نعم |
| 4 | 8 | 2 | نعم |
| 6 | 12 | 2 | نعم |
الخلاصة: العلاقة متناسبة (ثابت التناسب = 2)
| س | ص |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
ج: 3/1 = 3، 6/2 = 3، 9/3 = 3 ← نعم، متناسبة
| س | ص |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 8 |
ج: 2/1 = 2، 5/2 = 2.5، 8/3 ≈ 2.67 ← لا، غير متناسبة
الدرس الثاني: معدل التغير
الفكرة الرئيسية: حساب معدل التغير في القيم وتفسير معناه في المواقف الحياتية.
معدل التغير
هو مقدار التغير في الكمية ص بالنسبة للتغير في الكمية س.
المعادلة: معدل التغير = Δص/Δس = (ص₂ – ص₁)/(س₂ – س₁)
- السرعة = التغير في المسافة / التغير في الزمن (كم/ساعة).
- سعر الوحدة = التغير في السعر / التغير في الكمية (ريال/كجم).
- معدل الاستهلاك = التغير في الكمية / التغير في الزمن (لتر/يوم).
إذا قطع قطار 150 كلم في 3 ساعات، فما سرعته؟
ج: معدل التغير = 150 ÷ 3 = 50 كلم/ساعة
| س | ص |
|---|---|
| 1 | 4 |
| 3 | 10 |
| 5 | 16 |
ج: معدل التغير = (10-4)/(3-1) = 6/2 = 3
الدرس الثالث: المعدل الثابت للتغير
الفكرة الرئيسية: التعرف على العلاقات الخطية التي يكون فيها معدل التغير ثابتاً.
المعدل الثابت للتغير
إذا كان معدل التغير يساوي قيمة ثابتة بين جميع الأزواج المرتبة، فهذا يعني أن العلاقة خطية (تمثل خطاً مستقيماً على الرسم البياني).
- يكون التغير في ص متناسباً طردياً مع التغير في س.
- يمثل ميل الخط المستقيم (Slope).
- صيغة المعادلة: ص = م س + ب (حيث م هو المعدل الثابت).
| س | ص |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 2 | 6 |
| 4 | 10 |
ج: (6-2)/(2-0) = 4/2 = 2، (10-6)/(4-2) = 4/2 = 2 ← نعم، ثابت = 2
| س | ص |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
ج: (7-5)/(2-1) = 2، (9-7)/(3-2) = 2 ← ثابت
الدرس الرابع: حل التناسب
الفكرة الرئيسية: استخدام الضرب التبادلي (المقص) لإيجاد القيمة المجهولة في التناسب.
حل التناسب
إذا كان أ/ب = ج/د، فإن أ × د = ب × ج.
- س/5 = 12/30 → 30س = 5 × 12 = 60 ← س = 60 ÷ 30 = 2
- 3/4 = 9/س → 3س = 4 × 9 = 36 ← س = 36 ÷ 3 = 12
- 2/س = 8/20 → 2 × 20 = 8س ← 40 = 8س ← س = 5
- 7/س = 14/10 → 7 × 10 = 14س ← 70 = 14س ← س = 5
1. س/8 = 3/4 → 4س = 24 ← س = 6
2. 5/س = 15/30 → 5 × 30 = 15س ← 150 = 15س ← س = 10
3. 3/7 = 12/س → 3س = 84 ← س = 28
4. 9/12 = س/4 → 12س = 36 ← س = 3
اختبار منتصف الفصل
س1: حدد ما إذا كانت العلاقة متناسبة؟
| س | ص |
|---|---|
| 2 | 6 |
| 4 | 12 |
| 6 | 18 |
ج: 6/2=3، 12/4=3، 18/6=3 ← نعم متناسبة
س2: أوجد معدل التغير بين النقطتين (2,5) و (6,13).
ج: (13-5)/(6-2) = 8/4 = 2
س3: حل التناسب: س/6 = 8/12
ج: 12س = 48 ← س = 4
الدرس الخامس: تشابه المضلعات
الفكرة الرئيسية: تحديد ما إذا كانت المضلعات متشابهة (تساوي الزوايا وتناسب الأضلاع).
تشابه المضلعات
مضلعان متشابهان إذا كانت زواياهما المتناظرة متساوية، وأضلاعهما المتناظرة متناسبة.
- نسبة التشابه (معامل التشابه) = طول ضلع في المضلع الثاني ÷ طول الضلع المتناظر في المضلع الأول.
- إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية والأضلاع متناسبة، فالمضلعان متشابهان.
- مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 3، 4، 5. ومعامل التشابه = 2. فما أطوال الثاني؟
ج: 6، 8، 10 - في مثلثين متشابهين، إذا كان طول ضلع في الأول 6 سم، وطول الضلع المتناظر في الثاني 9 سم، فما نسبة التشابه؟
ج: 9/6 = 3/2
ج: نعم، نسبة الأضلاع: 4/2 = 2 و 6/3 = 2 ← متشابهان
الدرس السادس: القياس غير المباشر
الفكرة الرئيسية: استخدام التناسب وظلال الأشياء لحساب الارتفاعات الكبيرة (مثل ارتفاع بناية أو شجرة).
القياس غير المباشر
استخدام التشابه والتناسب لحساب أطوال أو مسافات لا يمكن قياسها مباشرة (مثل ارتفاع بناية باستخدام ظل عصا قصيرة).
ارتفاع الجسم / طول ظله = ارتفاع الجسم الآخر / طول ظله (في نفس الوقت).
لأن أشعة الشمس تشكل مثلثات متشابهة مع الأجسام وأظلتها.
- عصا طولها 2 متر، ظلها 1.5 متر. بناية ظلها 6 أمتار. ما ارتفاع البناية؟
ج: 2/1.5 = ع/6 ← 1.5 ع = 12 ← ع = 8 أمتار - شخص طوله 1.6 متر، ظله 2 متر. في نفس الوقت، ظل شجرة 5 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
ج: 1.6/2 = ع/5 ← 2ع = 8 ← ع = 4 أمتار
عمود إنارة طوله 6 أمتار، ظله 4 أمتار. في نفس الوقت، ظل شجرة 10 أمتار. ما ارتفاع الشجرة؟
ج: 6/4 = ع/10 ← 4ع = 60 ← ع = 15 متراً
الدرس السابع: توسع – معمل القياس (الأشكال المتشابهة)
الفكرة الرئيسية: استكشاف الأشكال المتشابهة باستخدام البرمجيات أو الأدوات الهندسية.
استكشاف الأشكال المتشابهة
- الأشكال المتشابهة تحافظ على قياسات الزوايا.
- الأضلاع المتناظرة تكون بنسب متساوية (أي متشابهة).
- يمكن إنشاء مضلعات متشابهة بضرب أطوال الأضلاع في عامل قياس ثابت.
ج: 2 × 3 = 6 سم
الدرس الثامن: مقياس الرسم
الفكرة الرئيسية: حل مسائل تتضمن خرائط ومخططات (تحويل المسافات الحقيقية إلى مسافات على الرسم والعكس).
مقياس الرسم
هو النسبة بين بعد في الرسم والبعد الحقيقي المقابل له.
أنواعه:
- مقياس رسم كتابي: 1 : 100000 (يقرأ 1 سم على الرسم يقابل 100000 سم = 1 كم في الواقع).
- مقياس رسم خطي: خط متدرج على الخريطة.
البعد في الرسم ÷ البعد الحقيقي = مقياس الرسم
البعد الحقيقي = البعد في الرسم ÷ مقياس الرسم (إذا كان مقياس الرسم كسراً)
البعد في الرسم = البعد الحقيقي × مقياس الرسم
- خريطة مقياس رسمها 1 : 500000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 4 سم. كم المسافة الحقيقية بينهما؟
ج: 4 × 500000 = 2,000,000 سم = 20 كم - إذا كانت المسافة الحقيقية بين قريتين 15 كم، ومقياس الرسم 1 : 300000، فكم المسافة على الخريطة؟
ج: 15 كم = 1,500,000 سم ← 1,500,000 ÷ 300,000 = 5 سم - في نموذج لسيارة، مقياس الرسم 1 : 24، إذا كان طول النموذج 20 سم، فما طول السيارة الحقيقية؟
ج: 20 × 24 = 480 سم = 4.8 متر
خريطة مقياسها 1 : 250000، المسافة بين مدينتين على الخريطة 8 سم. كم المسافة الحقيقية؟
ج: 8 × 250000 = 2,000,000 سم = 20 كم
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
س1: حل التناسب: 5/8 = س/24
ج: 8س = 5 × 24 = 120 ← س = 15
س2: مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 4، 6، 8. ومعامل التشابه = 1.5. أوجد أطوال الثاني.
ج: 4×1.5 = 6، 6×1.5 = 9، 8×1.5 = 12 ← 6، 9، 12
س3: عصا طولها 1.5 متر، ظلها 2 متر. في نفس الوقت، ظل برج 16 متراً. ما ارتفاع البرج؟
ج: 1.5/2 = ع/16 ← 2ع = 24 ← ع = 12 متراً
س4: خريطة مقياسها 1 : 100000، المسافة على الخريطة 3.5 سم. كم المسافة الحقيقية بالكيلومترات؟
ج: 3.5 × 100000 = 350000 سم = 3.5 كم
س5: مسألة مهارات تفكير عليا (تبرير): لماذا العلاقة 2س + 1 ليست علاقة تناسبية؟
ج: لأن النسبة ص/س غير ثابتة (عند س=1، ص=3 ← 3/1=3؛ عند س=2، ص=5 ← 5/2=2.5؛ النسب مختلفة).
جدول ملخص التناسب والتشابه
| المفهوم | القاعدة | مثال |
|---|---|---|
| التناسب | ص/س = ثابت | إذا كانت س=2, ص=4، فعند س=4, ص=8 |
| معدل التغير | Δص/Δس | من (2,4) إلى (6,12) → 2 |
| التشابه | أ/أ’ = ب/ب’ = ج/ج’ | مثلث ٣،٤،٥ يشابه ٦،٨،١٠ |
| مقياس الرسم | بعد الرسم/بعد حقيقي | 1 : 100000 |


29 تعليق على الفصل الثالث التناسب والتشابه