العلاقات والدوال الخطية رياضيات الثالث متوسط

تعريف الدالة (Function):
هي علاقة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى (لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط).

اختبار الخط الرأسي (Vertical Line Test):
إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني للدالة في أكثر من نقطة واحدة، فالعلاقة ليست دالة.

رمز الدالة (Function Notation):
نكتب الدالة على الصورة f(x) = 2x + 1، وتقرأ “f of x”.

حساب قيم الدوال:
إذا كانت f(x) = 2x + 1، فأوجد:

• f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
• f(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1
• f(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3

تمرين (تحديد الدالة):
هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).

تمرين (حساب قيم الدوال):
إذا كانت g(x) = 3x – 4، فأوجد:
1. g(2) = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2
2. g(5) = 3(5) – 4 = 15 – 4 = 11
3. g(0) = 3(0) – 4 = 0 – 4 = -4

الصورة القياسية للمعادلة الخطية (Standard Form):
أ س + ب ص = ج، حيث أ، ب، ج أعداد صحيحة، وأ ≠ 0.

المقطع السيني (x-intercept):
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور السيني (ص = 0).
المقطع الصادي (y-intercept):
هو النقطة التي يقطع فيها التمثيل البياني المحور الصادي (س = 0).

مثال: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 2س + 4ص = 8

• لإيجاد المقطع السيني: نضع ص = 0 → 2س = 8 → س = 4 ← النقطة (4,0)
• لإيجاد المقطع الصادي: نضع س = 0 → 4ص = 8 → ص = 2 ← النقطة (0,2)

تمرين: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلات التالية:
1. 3س + 2ص = 12
ج: سيني: (4,0) (بجعل ص=0 → 3س=12 ← س=4)، صادي: (0,6) (بجعل س=0 → 2ص=12 ← ص=6)
2. 5س – 3ص = 15
ج: سيني: (3,0)، صادي: (0,-5)
3. س + 2ص = 6
ج: سيني: (6,0)، صادي: (0,3)

تمرين: مثل المعادلة 3س + 4ص = 12 بيانياً
ج: المقطع السيني (4,0)، المقطع الصادي (0,3). نرسم النقطتين ونصل بينهما.

جذر المعادلة (Root of the Equation):
هو قيمة المتغير التي تجعل المعادلة صحيحة.
صفر الدالة (Zero of the Function):
هو قيمة س التي تجعل f(x) = 0.

العلاقة بين حل المعادلة والتمثيل البياني:
جذر المعادلة هو المقطع السيني للتمثيل البياني للدالة.

مثال: حل المعادلة 2س – 4 = 0 بيانياً
ج: نرسم الدالة f(x) = 2س – 4. المقطع السيني هو (2,0)، إذن الحل هو س = 2.

تمرين: حل المعادلات التالية بيانياً:
1. 3س – 6 = 0 ← س = 2
2. 4س + 8 = 0 ← س = -2
3. 5س – 10 = 0 ← س = 2

تعريف الميل (Slope):
هو مقياس لانحدار الخط المستقيم، ويمثل معدل التغير في قيم ص بالنسبة للتغير في قيم س.

قانون الميل بين نقطتين (س₁, ص₁) و (س₂, ص₂):

أنواع الميل:

• موجب: الخط يرتفع من اليسار إلى اليمين
• سالب: الخط ينخفض من اليسار إلى اليمين
• صفر: الخط أفقي (تغير ص = 0)
• غير معرف: الخط رأسي (تغير س = 0)

تمرين (إيجاد الميل بين نقطتين):

• النقطتان (2, 3) و (5, 7): م = (7 – 3)/(5 – 2) = 4/3 = 1.33
• النقطتان (-1, 2) و (3, 6): م = (6 – 2)/(3 – (-1)) = 4/4 = 1
• النقطتان (4, 5) و (4, 8): م = (8 – 5)/(4 – 4) = 3/0 = غير معرف (خط رأسي)
• النقطتان (2, 7) و (5, 7): م = (7 – 7)/(5 – 2) = 0/3 = 0 (خط أفقي)

تمرين إضافي: أوجد الميل للنقطتين (-3, 2) و (4, -5)
ج: م = (-5 – 2)/(4 – (-3)) = -7/7 = -1

✅ نموذج الإجابات:

س1: حدد المجال والمدى للعلاقة {(2,4), (4,8), (6,12)}
ج: المجال = {2, 4, 6}، المدى = {4, 8, 12}

س2: هل العلاقة {(1,2), (2,3), (3,4), (1,5)} تمثل دالة؟ لماذا؟
ج: لا، لأن المجال 1 يرتبط بقيمتين مختلفتين (2 و 5).

س3: إذا كانت f(x) = 4x – 3، فأوجد f(5).
ج: f(5) = 4(5) – 3 = 20 – 3 = 17

س4: أوجد المقطع السيني والصادي للمعادلة 3س + 6ص = 12
ج: سيني: (4,0)، صادي: (0,2)

س5: أوجد الميل بين النقطتين (1, 2) و (4, 8)
ج: م = (8 – 2)/(4 – 1) = 6/3 = 2

✅ نموذج الإجابات:

س1: اكتب العلاقة {(0,2), (1,4), (2,6), (3,8)} في صورة جدول.
ج: