العمليات على الكسور الاعتيادية

تعريف تبسيط الكسر: هو كتابة الكسر في أبسط صورة بحيث يصبح البسط والمقام أوليين فيما بينهما (ليس لهما قاسم مشترك أكبر من 1).

طرق تبسيط الكسور:

• الطريقة الأولى (القاسم المشترك الأكبر): نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ).
• الطريقة الثانية (التدريجية): نقسم البسط والمقام على عدد أولي (2، 3، 5، 7، ...) بشكل متكرر حتى نصل إلى أبسط صورة.

أمثلة على التبسيط:

• 4/8 = (4÷4)/(8÷4) = 1/2
• 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3
• 15/25 = (15÷5)/(25÷5) = 3/5
• 24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3

تمرين (تأكد وتدرب): بسط الكسور التالية إلى أبسط صورة:

1. 6/9 = ______
2. 10/15 = ______
3. 14/21 = ______
4. 16/24 = ______
5. 25/35 = ______
6. 18/27 = ______

الإجابة: 2/3 / 2/3 / 2/3 / 2/3 / 5/7 / 2/3

نشاط (مسألة حياتية): أكلت فاطمة 6/12 من الفطيرة. ما الكسر الذي يمثل الجزء الذي أكلته في أبسط صورة؟
الإجابة: 6/12 = 1/2

ما هو توحيد المقامات؟ هو إيجاد مقام مشترك لكسرين أو أكثر لتسهيل عمليات الجمع والطرح.

طرق توحيد المقامات:

• المقام المشترك الأصغر (م.م.أ): نستخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
• ضرب المقامين: نضرب المقامين في بعضهما للحصول على مقام مشترك (قد يكون كبيراً).

أمثلة على توحيد المقامات:

• 1/2 و 1/3 → المقام المشترك = 6 (م.م.أ للعددين 2 و 3)
• 2/5 و 3/10 → المقام المشترك = 10 (م.م.أ للعددين 5 و 10)
• 3/4 و 1/6 → المقام المشترك = 12 (م.م.أ للعددين 4 و 6)

تمرين (أوجد المقام المشترك الأصغر):

1. المقام المشترك لـ 1/3 و 1/4 هو ______
2. المقام المشترك لـ 2/3 و 3/5 هو ______
3. المقام المشترك لـ 3/8 و 1/4 هو ______
4. المقام المشترك لـ 5/6 و 2/9 هو ______

الإجابة: 12 / 15 / 8 / 18

قاعدة جمع وطرح الكسور المتشابهة: نجمع أو نطرح البسطين، ونبقي المقام كما هو.

قاعدة جمع وطرح الكسور غير المتشابهة: نوحّد المقامات أولاً، ثم نجمع أو نطرح البسطين.

أمثلة على الجمع والطرح:

• 1/4 + 2/4 = 3/4 (جمع كسور متشابهة)
• 5/8 - 2/8 = 3/8 (طرح كسور متشابهة)
• 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 (جمع كسور غير متشابهة)
• 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12 (طرح كسور غير متشابهة)
• 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
• 3/4 - 1/6 = 9/12 - 2/12 = 7/12

تمرين (تأكد وتدرب - جمع وطرح):

1. 2/7 + 3/7 = ______
2. 5/9 - 2/9 = ______
3. 1/3 + 1/6 = ______
4. 3/4 - 1/2 = ______
5. 2/5 + 1/10 = ______
6. 5/6 - 1/3 = ______

الإجابة: 5/7 / 3/9 = 1/3 / 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 / 3/4 - 2/4 = 1/4 / 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2 / 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

مسائل لفظية (من واقع الحياة):

1. أكل محمد 1/4 الفطيرة، وأكلت سارة 2/4 الفطيرة. ما الكسر الذي أكلاه معاً؟ (3/4)
2. مع سلمى 3/4 متر من القماش، استعملت 1/2 متر. كم بقي معها؟ (1/4 متر)
3. في حصة الرياضة، ركض أحمد 1/3 كيلومتر، ثم ركض 1/2 كيلومتر. كم المسافة الكلية التي ركضها؟ (5/6 كيلومتر)

قاعدة ضرب الكسور: نضرب البسط في البسط، والمقام في المقام.

أي: أ/ب × ج/د = (أ×ج) / (ب×د)

أمثلة على ضرب الكسور:

• 1/2 × 3/4 = (1×3)/(2×4) = 3/8
• 2/3 × 1/5 = (2×1)/(3×5) = 2/15
• 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10
• 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7
• 2 × 1/3 = 2/1 × 1/3 = 2/3

ملاحظة مهمة: يمكن الاختصار قبل الضرب لتسهيل الحساب. نختصر بسطاً مع مقام.

• 2/3 × 3/5 = 2/5 (نختصر الرقم 3)
• 4/9 × 3/8 = (4×3)/(9×8) = نختصر 4 مع 8، و3 مع 9 ← (1×1)/(3×2) = 1/6

تمرين (تأكد وتدرب - ضرب الكسور):

1. 1/3 × 2/5 = ______
2. 3/8 × 4/9 = ______
3. 2/7 × 3/4 = ______
4. 5/6 × 3/10 = ______
5. 4 × 2/3 = ______
6. 1/2 × 4/5 × 3/4 = ______

الإجابة: 2/15 / 12/72 = 1/6 / 6/28 = 3/14 / 15/60 = 1/4 / 8/3 = 2 2/3 / 12/40 = 3/10

مسائل لفظية (ضرب الكسور):

1. اشترى أحمد 1/2 كيلو تفاح، ووزن كل تفاحة 1/8 كيلو. كم عدد التفاحات؟ (1/2 ÷ 1/8 = 4 تفاحات بالضرب والقسمة لاحقاً) أو: إذا كانت لديه قطعة أرض زراعية، زرع 3/4 من مساحتها قمحاً، وزرع 2/3 من جزء القمح شعيراً. ما الكسر الذي يمثل مساحة الشعير؟ (3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2)
2. يحتوي وعاء على 4/5 لتر من العصير. إذا تناول كل شخص 1/10 لتر، كم شخصاً يشرب؟ (4/5 ÷ 1/10 = 8 أشخاص)

مقلوب الكسر (Reciprocal): هو قلب الكسر (تبديل البسط بالمقام). مثال: مقلوب 2/3 هو 3/2، مقلوب 5 هو 1/5.

قاعدة قسمة الكسور: نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني.

أي: أ/ب ÷ ج/د = أ/ب × د/ج = (أ×د) / (ب×ج)

أمثلة على قسمة الكسور:

• 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 4/2 = 2
• 2/3 ÷ 1/6 = 2/3 × 6/1 = 12/3 = 4
• 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8
• 4 ÷ 1/2 = 4 × 2/1 = 8
• 1/3 ÷ 2 = 1/3 × 1/2 = 1/6

تمرين (تأكد وتدرب - قسمة الكسور):

1. 1/3 ÷ 2/5 = ______
2. 3/4 ÷ 1/2 = ______
3. 5/6 ÷ 2/3 = ______
4. 2 ÷ 1/4 = ______
5. 3/5 ÷ 2 = ______
6. 7/8 ÷ 3/4 = ______

الإجابة: 1/3 × 5/2 = 5/6 / 3/4 × 2/1 = 6/4 = 1 1/2 / 5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1 1/4 / 2 × 4/1 = 8 / 3/5 × 1/2 = 3/10 / 7/8 × 4/3 = 28/24 = 7/6 = 1 1/6

مسائل لفظية (قسمة الكسور):

1. لدى سعاد 3/4 كيلو من الدقيق، تريد تقسيمه إلى أكياس سعة كل منها 1/8 كيلو. كم كيساً تحتاج؟ (3/4 ÷ 1/8 = 3/4 × 8/1 = 24/4 = 6 أكياس)
2. خزان ماء سعته 2/3 لتر، يملأ قارورة سعتها 1/6 لتر. كم قارورة تملأ؟ (2/3 ÷ 1/6 = 2/3 × 6/1 = 12/3 = 4 قوارير)
3. قطعة أرض زراعية مساحتها 4/5 كيلومتر مربع، وزعت على 2 فلاح بالتساوي. ما نصيب كل فلاح؟ (4/5 ÷ 2 = 4/5 × 1/2 = 4/10 = 2/5 كيلومتر مربع)

ما هو العدد الكسري؟ هو عدد يتكون من عدد صحيح وكسر اعتيادي. مثال: 2 1/3، 3 3/4، 1 2/5.

تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي: (العدد الصحيح × المقام) + البسط، ونضع الناتج في البسط، ونبقي المقام كما هو.

• 2 1/3 = (2×3+1)/3 = 7/3
• 3 2/5 = (3×5+2)/5 = 17/5
• 1 3/4 = (1×4+3)/4 = 7/4

تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري: نقسم البسط على المقام، الناتج هو العدد الصحيح، والباقي هو البسط الجديد، والمقام كما هو.

• 7/3 = 2 والباقي 1 ← 2 1/3
• 17/5 = 3 والباقي 2 ← 3 2/5
• 11/4 = 2 والباقي 3 ← 2 3/4

تمرين (تحويل الأعداد الكسرية):

1. حول 3 2/5 إلى كسر غير فعلي: ______
2. حول 4 1/3 إلى كسر غير فعلي: ______
3. حول 15/4 إلى عدد كسري: ______
4. حول 22/7 إلى عدد كسري: ______
5. حول 2 5/8 إلى كسر غير فعلي: ______
6. حول 19/6 إلى عدد كسري: ______

الإجابة: 17/5 / 13/3 / 3 3/4 / 3 1/7 / 21/8 / 3 1/6

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. الكسر 12/18 في أبسط صورة هو ______. (أ) 2/3 (ب) 3/4 (ج) 4/6 (د) 6/9)
2. ناتج 1/4 + 1/3 = ______. (أ) 2/7 (ب) 7/12 (ج) 5/12 (د) 1/7)
3. ناتج 2/3 - 1/2 = ______. (أ) 1/6 (ب) 1/3 (ج) 1/2 (د) 1/4)
4. ناتج 2/3 × 3/8 = ______. (أ) 6/24 (ب) 1/4 (ج) 1/2 (د) 1/8)
5. ناتج 1/2 ÷ 1/4 = ______. (أ) 2 (ب) 1/8 (ج) 4 (د) 2/4)

الإجابة: أ / ب / أ / ب / أ

سؤال 2 (أكمل الفراغات):

1. 5/8 + 2/8 = ______
2. 7/9 - 3/9 = ______
3. 1/2 + 1/5 = ______
4. 3/4 - 1/3 = ______
5. 2/5 × 3/7 = ______
6. 3/4 ÷ 2/5 = ______

الإجابة: 7/8 / 4/9 / 5/10 + 2/10 = 7/10 / 9/12 - 4/12 = 5/12 / 6/35 / 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8

سؤال 3 (مسائل لفظية):

1. حلوى وزعت على 6 أطفال، أكل كل طفل 1/3 من الحلوى. كم جزء من الحلوى أكل الأطفال كلهم؟ (6 × 1/3 = 2، أي 2 حلوى كاملة)
2. قطعة قماش طولها 8/5 متر، قسمت إلى 4 أجزاء متساوية. ما طول كل جزء؟ (8/5 ÷ 4 = 8/5 × 1/4 = 8/20 = 2/5 متر)
3. مزرعة زرع صاحبها 2/3 من مساحتها خضروات، وزرع 3/4 من جزء الخضروات طماطم. ما الكسر الذي يمثل مساحة الطماطم من المزرعة؟ (2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2)

الإجابة: 2 / 2/5 متر / 1/2