الفصل العاشر القياس المحيط والمساحة والحجم

وحدات قياس الطول:

• 1 كيلومتر (كم) = 1000 متر (م)
• 1 متر (م) = 100 سنتمتر (سم) = 1000 مليمتر (مم)
• 1 سنتمتر (سم) = 10 مليمتر (مم)

وحدات قياس المساحة:

• 1 متر مربع (م²) = 10000 سنتمتر مربع (سم²)
• 1 كيلومتر مربع (كم²) = 1,000,000 متر مربع (م²)

وحدات قياس الحجم:

• 1 متر مكعب (م³) = 1,000,000 سنتمتر مكعب (سم³)
• 1 لتر (ل) = 1000 مليلتر (مل)
• 1 متر مكعب (م³) = 1000 لتر
• 1 سنتمتر مكعب (سم³) = 1 مليلتر (مل)

تمرين 1 (تحويل وحدات الطول):

1. 3 كم = ______ م
2. 250 سم = ______ م
3. 4 م = ______ سم
4. 1500 مم = ______ سم

الإجابة: 3000 / 2.5 / 400 / 150

تمرين 2 (تحويل وحدات المساحة والحجم):

1. 2 م² = ______ سم²
2. 3 م³ = ______ لتر
3. 5000 مل = ______ لتر
4. 4 سم³ = ______ مل

الإجابة: 20000 / 3000 / 5 / 4

ما هو المحيط؟ هو المسافة حول الشكل الهندسي المغلق. نحسبه بجمع أطوال جميع أضلاعه.

قوانين المحيط للأشكال الشائعة:

• محيط المربع: طول الضلع × 4
• محيط المستطيل: (الطول + العرض) × 2
• محيط المثلث: أ + ب + ج (مجموع أطوال أضلاعه)
• محيط متوازي الأضلاع: 2 × (طول الضلع + عرض الضلع)
• محيط شبه المنحرف: مجموع أطوال أضلاعه الأربعة
• محيط الدائرة (المحيط): 2 × π × نصف القطر (أو π × القطر)

أمثلة على حساب المحيط:

• مربع طول ضلعه 7 سم → محيطه = 7 × 4 = 28 سم
• مستطيل طوله 10 سم وعرضه 5 سم → محيطه = (10+5)×2 = 30 سم
• مثلث أضلاعه 3 سم، 4 سم، 5 سم → محيطه = 3+4+5 = 12 سم
• دائرة نصف قطرها 7 سم → محيطها = 2 × 3.14 × 7 = 43.96 سم

تمرين (حساب المحيط):

1. مربع طول ضلعه 12 سم، محيطه = ______ سم
2. مستطيل طوله 15 سم وعرضه 8 سم، محيطه = ______ سم
3. مثلث أضلاعه 6 سم، 7 سم، 9 سم، محيطه = ______ سم
4. دائرة نصف قطرها 10 سم، محيطها = ______ سم (استخدم π = 3.14)
5. حديقة مستطيلة طولها 25 م وعرضها 12 م، ما طول السياج اللازم لإحاطتها؟ = ______ م

الإجابة: 48 / 46 / 22 / 62.8 / 74

ما هي المساحة؟ هي عدد الوحدات المربعة التي تغطي سطح الشكل. تقاس بالوحدات المربعة (سم²، م²).

قوانين المساحة للأشكال الشائعة:

• مساحة المربع: طول الضلع × نفسه (الضلع²)
• مساحة المستطيل: الطول × العرض
• مساحة المثلث: (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2
• مساحة متوازي الأضلاع: القاعدة × الارتفاع
• مساحة شبه المنحرف: (القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى) × الارتفاع ÷ 2
• مساحة الدائرة: π × نصف القطر²

أمثلة على حساب المساحة:

• مربع طول ضلعه 6 سم → مساحته = 6 × 6 = 36 سم²
• مستطيل طوله 10 سم وعرضه 4 سم → مساحته = 10 × 4 = 40 سم²
• مثلث قاعدته 8 سم وارتفاعه 5 سم → مساحته = (8×5)÷2 = 20 سم²
• متوازي أضلاع قاعدته 7 سم وارتفاعه 4 سم → مساحته = 7 × 4 = 28 سم²
• شبه منحرف قاعدتاه 10 سم و 6 سم وارتفاعه 4 سم → مساحته = (10+6)×4÷2 = 32 سم²
• دائرة نصف قطرها 7 سم → مساحتها = 3.14 × 49 ≈ 153.86 سم²

تمرين (حساب المساحة):

1. مربع طول ضلعه 9 سم، مساحته = ______ سم²
2. مستطيل طوله 12 سم وعرضه 7 سم، مساحته = ______ سم²
3. مثلث قاعدته 10 سم وارتفاعه 6 سم، مساحته = ______ سم²
4. دائرة نصف قطرها 5 سم، مساحتها = ______ سم² (استخدم π = 3.14)
5. شبه منحرف قاعدتاه 15 سم و 9 سم وارتفاعه 6 سم، مساحته = ______ سم²

الإجابة: 81 / 84 / 30 / 78.5 / 72

كيف نحسب مساحة شكل مركب؟ نقسم الشكل إلى أشكال بسيطة (مربعات، مستطيلات، مثلثات)، نحسب مساحة كل جزء، ثم نجمعها (أو نطرحها إذا كان الشكل به فجوة).

تمرين 1 (مساحة شكل مركب - مستطيلان):

شكل على شكل حرف L مكون من مستطيلين متصلين. المستطيل الأول طوله 10 سم وعرضه 4 سم، والمستطيل الثاني طوله 6 سم وعرضه 3 سم (ملاصق). ما مساحة الشكل الكلي؟

الإجابة: مساحة الأول = 10×4 = 40 سم²، مساحة الثاني = 6×3 = 18 سم²، المساحة الكلية = 40+18 = 58 سم².

تمرين 2 (مساحة شكل مركب - مربع ومثلث):

شكل مكون من مربع طول ضلعه 6 سم، ومثلث قاعدته 6 سم وارتفاعه 4 سم ملاصق لأحد أضلاع المربع. ما مساحة الشكل الكلي؟

الإجابة: مساحة المربع = 6×6 = 36 سم²، مساحة المثلث = (6×4)÷2 = 12 سم²، المساحة الكلية = 36+12 = 48 سم².

تمرين 3 (مساحة شكل مركب - مستطيل ونصف دائرة):

شكل مكون من مستطيل طوله 8 سم وعرضه 4 سم، ونصف دائرة قطرها 4 سم ملتصقة بأحد أضلاع المستطيل. ما مساحة الشكل الكلي؟ (استخدم π = 3.14)

الإجابة: مساحة المستطيل = 8×4 = 32 سم²، نصف قطر الدائرة = 2 سم، مساحة نصف الدائرة = (3.14×2²)÷2 = 6.28 سم²، المساحة الكلية = 32 + 6.28 = 38.28 سم².

ما هو الحجم؟ هو مقدار الحيز الذي يشغله الجسم في المكان. يقاس بالوحدات المكعبة (سم³، م³).

قوانين الحجم للأشكال ثلاثية الأبعاد:

• حجم المكعب: طول الضلع × طول الضلع × طول الضلع (الضلع³)
• حجم متوازي المستطيلات (المنشور القائم): الطول × العرض × الارتفاع
• حجم الأسطوانة: مساحة القاعدة × الارتفاع = π × نصف القطر² × الارتفاع
• حجم المنشور القائم (مساحة القاعدة × الارتفاع): ينطبق على أي منشور (مثلثي، رباعي، إلخ)

أمثلة على حساب الحجم:

• مكعب طول ضلعه 4 سم → حجمه = 4 × 4 × 4 = 64 سم³
• صندوق طوله 5 سم، عرضه 3 سم، ارتفاعه 2 سم → حجمه = 5 × 3 × 2 = 30 سم³
• خزان ماء طوله 2 م، عرضه 1.5 م، ارتفاعه 1 م → حجمه = 2 × 1.5 × 1 = 3 م³ = 3000 لتر
• أسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 10 سم → حجمها = 3.14 × 9 × 10 = 282.6 سم³

تمرين (حساب الحجم):

1. مكعب طول ضلعه 6 سم، حجمه = ______ سم³
2. صندوق طوله 8 سم، عرضه 5 سم، ارتفاعه 4 سم، حجمه = ______ سم³
3. خزان ماء طوله 3 م، عرضه 2 م، ارتفاعه 1.5 م، حجمه = ______ م³
4. أسطوانة نصف قطر قاعدتها 5 سم وارتفاعها 8 سم، حجمها = ______ سم³ (استخدم π = 3.14)
5. منشور ثلاثي مساحة قاعدته 20 سم² وارتفاعه 10 سم، حجمه = ______ سم³

الإجابة: 216 / 160 / 9 / 628 / 200

العلاقة بين الحجم والسعة:

• 1 متر مكعب (م³) = 1000 لتر (ل)
• 1 لتر (ل) = 1000 مليلتر (مل)
• 1 ديسيمتر مكعب (دم³) = 1 لتر (ل)
• 1 سنتمتر مكعب (سم³) = 1 مليلتر (مل)

تمرين (التحويل بين الحجم والسعة):

1. خزان ماء حجمه 2 م³ = ______ لتر
2. علبة عصير سعتها 250 مل = ______ سم³
3. صندوق حجمه 3000 سم³ = ______ لتر
4. قارورة سعتها 1.5 لتر = ______ مليلتر
5. بركة سباحة طولها 5 م، عرضها 4 م، عمقها 2 م، كم لتراً من الماء تحتاج؟ (5×4×2=40 م³ = 40000 لتر)

الإجابة: 2000 / 250 / 3 / 1500 / 40000

سؤال 1 (اختر الإجابة الصحيحة):

1. وحدة قياس المساحة هي ______. (أ) سم (ب) سم² (ج) سم³ (د) م)
2. محيط مربع طول ضلعه 8 سم = ______. (أ) 16 سم (ب) 32 سم (ج) 64 سم² (د) 32 سم²)
3. مساحة مستطيل طوله 9 سم وعرضه 5 سم = ______. (أ) 28 سم (ب) 28 سم² (ج) 45 سم (د) 45 سم²)
4. حجم مكعب طول ضلعه 5 سم = ______. (أ) 25 سم³ (ب) 125 سم³ (ج) 125 سم² (د) 25 سم²)
5. العلاقة الصحيحة: 1 م³ = ______ لتر. (أ) 10 (ب) 100 (ج) 1000 (د) 10000)

الإجابة: ب / ب / د / ب / ج

سؤال 2 (أكمل الجدول):

الشكل	المعطيات	المحيط	المساحة
مربع	الضلع = 5 سم	______	______
مستطيل	الطول = 8 سم، العرض = 3 سم	______	______
مثلث	القاعدة = 10 سم، الارتفاع = 4 سم	______	______
دائرة	نصف القطر = 7 سم	______	______

الإجابة: محيط المربع = 20 سم، مساحته = 25 سم² / محيط المستطيل = 22 سم، مساحته = 24 سم² / محيط المثلث (يحتاج أضلاع) / مساحة المثلث = 20 سم² / محيط الدائرة = 43.96 سم، مساحتها = 153.86 سم²

سؤال 3 (حل المسائل اللفظية):

1. غرفة مستطيلة طولها 6 أمتار وعرضها 4 أمتار، يريد سليمان فرشها بسجاد. ما مساحة السجاد اللازم؟ (6×4=24 م²)
2. حمام سباحة طوله 10 م، عرضه 5 م، عمقه 2 م. كم متراً مكعباً من الماء يسع؟ (10×5×2=100 م³)
3. قطعة أرض على شكل شبه منحرف، قاعدتها الكبرى 20 م، القاعدة الصغرى 12 م، ارتفاعها 8 م. ما مساحة الأرض؟ ((20+12)×8÷2=128 م²)
4. خزان ماء مكعب الشكل طول ضلعه 1.5 م. ما حجمه باللترات؟ (1.5×1.5×1.5=3.375 م³ = 3375 لتراً)
5. علبة عصير على شكل أسطوانة نصف قطر قاعدتها 4 سم وارتفاعها 10 سم. ما حجم العلبة؟ (3.14×16×10=502.4 سم³)

الإجابة: 24 م² / 100 م³ / 128 م² / 3375 لتراً / 502.4 سم³