تمارين التهيئة
س: أحسب قيمة كل عبارة مما يلي:
1. 15 + 23 = 38
2. 45 - 18 = 27
3. 7 × 8 = 56
4. 48 ÷ 6 = 8
5. 144 ÷ 12 = 12
الخطوات الأربع لحل المسألة
1. افهم (Understand): تحديد المعطيات والمطلوب في المسألة.
2. خطط (Plan): اختيار خطة مناسبة (مثل: البحث عن نمط، الرسم، التخمين والتحقق، إنشاء جدول، حل مسألة أبسط، العمل عكسياً).
3. حل (Solve): تنفيذ الخطة المختارة خطوة بخطوة.
4. تحقق (Check): التأكد من منطقية الجواب ومراجعة الحل.
مثال تطبيقي:
"اشترى أحمد 3 أقلام بسعر 5 ريالات للقلم الواحد، ودفتراً بسعر 7 ريالات. كم دفع أحمد؟"
افهم: المعطيات: 3 أقلام × 5 ريالات + دفتر × 7 ريالات. المطلوب: المجموع الكلي.
خطط: نضرب أولاً ثم نجمع.
حل: 3 × 5 = 15، 15 + 7 = 22 ريالاً.
تحقق: 22 ريالاً معقول (3 أقلام = 15، دفتر = 7، المجموع 22).
نشاط: استخدم الخطوات الأربع لحل المسألة: "في حفلة، هناك 5 طاولات، كل طاولة عليها 4 كراسي. كم كرسياً في الحفلة؟"
ج: 5 × 4 = 20 كرسياً.
القوى والأسس
تعريف القوة والأس (Exponent):
- الأساس (Base): العدد الذي يتم ضربه.
- الأس (Exponent): عدد مرات ضرب الأساس في نفسه.
- القوة (Power): ناتج ضرب الأساس في نفسه عدداً من المرات حسب الأس.
أمثلة:
- 5² = 5 × 5 = 25 (يُقرأ: 5 أس 2 أو 5 تربيع)
- 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 (يُقرأ: 3 أس 3 أو 3 تكعيب)
- 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- 10⁵ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000
ملاحظات مهمة:
- أي عدد أس 1 يساوي العدد نفسه (5¹ = 5).
- أي عدد أس 0 يساوي 1 (5⁰ = 1) باستثناء (0⁰ غير معرف).
- 1 مرفوع لأي أس يساوي 1 (1⁵ = 1).
- 0 مرفوع لأي أس أكبر من 0 يساوي 0 (0⁵ = 0).
نشاط: أوجد قيمة ما يلي:
1. 4² = 16
2. 6³ = 216
3. 7⁴ = 2401
4. 2⁵ = 32
ترتيب العمليات (Order of Operations)
الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية (PEMDAS / BODMAS):
- الأقواس (Parentheses): نبدأ بالعمليات داخل الأقواس أولاً.
- الأسس (Exponents): نحسب القوى والأسس.
- الضرب والقسمة (Multiplication & Division): من اليمين إلى اليسار.
- الجمع والطرح (Addition & Subtraction): من اليمين إلى اليسار.
أمثلة تطبيقية:
- 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 (الضرب قبل الجمع)
- (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20 (الأقواس أولاً)
- 3² + 4 × 2 = 9 + 8 = 17
- 20 - 8 ÷ 2 + 3 = 20 - 4 + 3 = 19
- 4 × (5 + 3) - 2³ = 4 × 8 - 8 = 32 - 8 = 24
نشاط: احسب باستخدام ترتيب العمليات:
1. 8 + 6 × 3 = 8 + 18 = 26
2. (8 + 6) × 3 = 14 × 3 = 42
3. 5² - 4 × 2 = 25 - 8 = 17
4. 18 ÷ 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
نموذج اختبار منتصف الفصل
✅ نموذج الإجابات:
س1: احسب 5² + 3 × 2
ج: 25 + 6 = 31
س2: أوجد قيمة 2⁴
ج: 2 × 2 × 2 × 2 = 16
س3: استخدم الخطوات الأربع لحل المسألة: إذا كان سعر القلم 3 ريالات، واشتريت 5 أقلام، فكم دفعت؟
ج: 5 × 3 = 15 ريالاً
المتغيرات والتعابير الجبرية
تعريفات أساسية:
- المتغير (Variable): رمز (غالباً حرف) يمثل عدداً مجهولاً (مثل: س، ص).
- التعبير الجبري (Algebraic Expression): تركيب يحتوي على أعداد ومتغيرات وعمليات (مثل: 2س + 5).
- التعويض (Substitution): استبدال المتغير بقيمة عددية معينة لإيجاد قيمة التعبير الجبري.
أمثلة على التعويض:
- إذا كانت س = 3، فإن قيمة 2س + 5 = 2 × 3 + 5 = 6 + 5 = 11
- إذا كانت ص = 4، فإن قيمة 3ص - 2 = 3 × 4 - 2 = 12 - 2 = 10
- إذا كانت ع = 6، فإن قيمة ع² - 4 = 36 - 4 = 32
كتابة تعبير جبري من جملة لفظية:
- "زيادة س بمقدار 5": س + 5
- "نقص ص بمقدار 3": ص - 3
- "ضعف س": 2س
- "نصف ع": ع ÷ 2
نشاط: أوجد قيمة كل تعبير مما يلي إذا كانت س = 3، ص = 5، ع = 2:
1. 2س + 3ص = 2×3 + 3×5 = 6 + 15 = 21
2. 4س - ع = 4×3 - 2 = 12 - 2 = 10
3. س² + ص = 9 + 5 = 14
حل المعادلات البسيطة
تعريف المعادلة (Equation):
جملة رياضية تحتوي على إشارة يساوي (=) ومتغير واحد أو أكثر.
حل المعادلات ذهنياً (عن طريق التخمين والتحقق):
- س + 5 = 12 ← ما العدد الذي إذا أضفنا إليه 5 يصبح 12؟ ← س = 7
- س - 4 = 10 ← ما العدد الذي إذا طرحنا منه 4 يصبح 10؟ ← س = 14
- 3س = 18 ← ما العدد الذي إذا ضربناه في 3 يعطي 18؟ ← س = 6
- س ÷ 4 = 6 ← ما العدد الذي إذا قسم على 4 يعطي 6؟ ← س = 24
نشاط: حل المعادلات التالية ذهنياً:
1. س + 12 = 20 → س = 8
2. ص - 5 = 9 → ص = 14
3. 5س = 35 → س = 7
4. ع ÷ 6 = 7 → ع = 42
خصائص العمليات
خاصية الإبدال (Commutative Property):
- أ + ب = ب + أ
- أ × ب = ب × أ
- مثال: 5 + 3 = 3 + 5، 4 × 7 = 7 × 4
خاصية التجميع (Associative Property):
- (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
- (أ × ب) × ج = أ × (ب × ج)
- مثال: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
خاصية التوزيع (Distributive Property):
- أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج)
- أ × (ب - ج) = (أ × ب) - (أ × ج)
- مثال: 5 × (4 + 3) = (5 × 4) + (5 × 3) = 20 + 15 = 35
العنصر المحايد (Identity Element):
- للجمع: 0 هو العنصر المحايد (أ + 0 = أ).
- للضرب: 1 هو العنصر المحايد (أ × 1 = أ).
نشاط: حدد الخاصية المستخدمة في كل عبارة:
1. 7 + 9 = 9 + 7 → الإبدال
2. 4 × (3 + 2) = 4 × 3 + 4 × 2 → التوزيع
3. 8 + 0 = 8 → العنصر المحايد
المعادلات والدوال
تعريفات أساسية:
- الدالة (Function): علاقة تربط بين المدخلات والمخرجات بقاعدة معينة.
- المدخلة (Input): العدد الذي ندخله إلى الدالة (قيمة س).
- المخرجة (Output): العدد الناتج بعد تطبيق القاعدة (قيمة ص).
- قاعدة الدالة (Function Rule): العملية التي تطبق على المدخلة للحصول على المخرجة.
- المجال (Domain): مجموعة قيم س المسموح بها.
- المدى (Range): مجموعة قيم ص الناتجة.
أمثلة على جداول الدوال:
| المدخلة (س) |
المخرجة (ص = س + 3) |
| 2 | 5 |
| 4 | 7 |
| 7 | 10 |
نشاط: أكمل جدول الدالة التالي بقاعدة ص = 2س:
| المدخلة (س) |
المخرجة (ص = 2س) |
| 1 | 2 |
| 3 | 6 |
| 5 | 10 |
نموذج اختبار الفصل الأول
✅ نموذج الإجابات:
س1: احسب 3³ + 4 × 2
ج: 27 + 8 = 35
س2: إذا كانت س = 4، فأوجد قيمة 3س + 5
ج: 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17
س3: حل المعادلة: 2س = 16
ج: س = 8
س4: حدد الخاصية: 5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2
ج: التجميع
س5: إذا كانت قاعدة الدالة ص = س + 5، فأوجد قيمة ص عندما س = 7
ج: ص = 7 + 5 = 12
