الفصل الخامس الهندسة والاستدلال
الدرس الأول: علاقات الزوايا
الفكرة الرئيسية: التعرف على الزوايا المتجاورة، المتعامدة، المتكاملة، المتتامة، والزوايا المتقابلة بالرأس.
علاقات الزوايا
- الزوايا المتجاورة (Adjacent Angles): زاويتان تشتركان في الرأس والضلع ولا تشتركان في النقطة الداخلية.
- الزوايا المتعامدة (Perpendicular): زاويتان قياس كل منهما 90 درجة، ويشكلان زاوية قائمة.
- الزوايا المتكاملة (Supplementary Angles): زاويتان مجموع قياسهما 180 درجة.
- الزوايا المتتامة (Complementary Angles): زاويتان مجموع قياسهما 90 درجة.
- الزوايا المتقابلة بالرأس (Vertical Angles): زاويتان متقابلتان تتساويان في القياس.
- إذا كانت ∠أ = 30°، ∠ب = 60° ← متتامتان (30 + 60 = 90)
- إذا كانت ∠ج = 110°، ∠د = 70° ← متكاملتان (110 + 70 = 180)
- الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان
- إذا كانت الزاويتان متكاملتين، قياس إحداهما = 3س، والأخرى = 2س، فجد س.
ج: 3س + 2س = 180 ← 5س = 180 ← س = 36° - إذا كانت الزاويتان متتامتين، قياس إحداهما = 4س – 10، والأخرى = 3س + 5، فجد س.
ج: (4س – 10) + (3س + 5) = 90 ← 7س – 5 = 90 ← 7س = 95 ← س = 13.57°
1. إذا كانت ∠أ = 45°، فما قياس الزاوية المتتامة لها؟ 45°
2. إذا كانت ∠ب = 120°، فما قياس الزاوية المتكاملة لها؟ 60°
3. زاويتان متقابلتان بالرأس، إحداهما = 5س، والأخرى = 2س + 30، فجد س.
ج: 5س = 2س + 30 ← 3س = 30 ← س = 10
الدرس الثاني: الزوايا والمستقيمات المتوازية
الفكرة الرئيسية: دراسة الزوايا الناتجة عن قطع مستقيم لمستقيمين متوازيين (الزاويتان المتبادلتان داخلياً وخارجياً، الزوايا المتناظرة).
الزوايا والمستقيمات المتوازية
- الزوايا المتناظرة (Corresponding Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتبادلة داخلياً (Alternate Interior Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتبادلة خارجياً (Alternate Exterior Angles): متساوية في القياس.
- الزوايا المتحالفة (Same-Side Interior Angles): مجموع قياساتها 180 درجة (متكاملة).
- إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، وكانت إحدى الزوايا 70°، فأوجد قياسات بقية الزوايا.
ج: الزاوية المتناظرة = 70°، المتبادلة داخلياً = 70°، المتحالفة = 110°.
- في الشكل، مستقيمان متوازيان وقاطع، قياس إحدى الزوايا = 5س + 20، والزاوية المتناظرة = 3س + 50، فجد س.
ج: 5س + 20 = 3س + 50 ← 2س = 30 ← س = 15°
في الشكل، إذا كان ∠1 = 120°، فأوجد قياس ∠2، ∠3، ∠4.
ج: ∠2 = 120° (متناظرة)، ∠3 = 60° (متحالفة مع ∠1)، ∠4 = 60° (متناظرة مع ∠3).
اختبار منتصف الفصل
س1: زاويتان متكاملتان، قياس إحداهما 2س، والأخرى 3س – 20، فجد س.
ج: 2س + (3س – 20) = 180 ← 5س = 200 ← س = 40°
س2: في مستقيمين متوازيين، زاوية قياسها 5س + 10، والزاوية المتناظرة لها 7س – 30، فجد س.
ج: 5س + 10 = 7س – 30 ← 40 = 2س ← س = 20°
الدرس الثالث: إستراتيجية حل المسألة (الاستدلال المنطقي)
الفكرة الرئيسية: التبرير المنطقي واستخدام الاستدلال للوصول إلى النتائج.
الاستدلال المنطقي
هو عملية الوصول إلى استنتاجات صحيحة باستخدام المعطيات والمبادئ الرياضية السليمة.
- مضلع جميع زواياه متساوية وجميع أضلاعه متساوية ← منتظم
- مربع ← منتظم
- مستطيل ← غير منتظم (لأن الأضلاع غير متساوية جميعها)
قال طالب: الزاويتان 110° و 70° متتامتان. هل هذا صحيح؟
ج: خطأ، لأن 110 + 70 = 180، فهما متكاملتان وليس متتامتين.
الدرس الرابع: المضلعات والزوايا
الفكرة الرئيسية: حساب مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع، وإيجاد قياس الزاوية الواحدة في المضلع المنتظم.
المضلعات والزوايا
- مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع = (ن – 2) × 180° حيث ن = عدد الأضلاع
- قياس الزاوية الداخلية في المضلع المنتظم = [(ن – 2) × 180] ÷ ن
- مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع = 360° (دائماً)
- أوجد مجموع زوايا المضلع الخماسي (ن = 5): (5-2) × 180 = 3 × 180 = 540°
- أوجد قياس الزاوية الداخلية في السداسي المنتظم (ن = 6): (6-2) × 180 ÷ 6 = 4 × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120°
- أوجد عدد أضلاع مضلع منتظم قياس زاويته الداخلية 108°: (ن-2) × 180 ÷ ن = 108 ← 180ن – 360 = 108ن ← 72ن = 360 ← ن = 5
1. مجموع زوايا المضلع السداسي = 720°
2. قياس الزاوية الداخلية في المربع = 90°
3. إذا كان قياس الزاوية الداخلية في مضلع منتظم = 150°، فما عدد أضلاعه؟
ج: (ن-2) × 180 = 150ن ← 180ن – 360 = 150ن ← 30ن = 360 ← ن = 12
الدرس الخامس: تطابق المضلعات
الفكرة الرئيسية: تحديد المضلعات المتطابقة وكتابة عبارات التطابق وإيجاد العناصر المجهولة.
تطابق المضلعات
مضلعان متطابقان إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متساوية وزواياهما المتناظرة متساوية.
- إذا كان △ABC ≅ △DEF، وAB = 5 سم، BC = 7 سم، AC = 6 سم، فأوجد DE، EF، DF.
ج: DE = 5 سم، EF = 7 سم، DF = 6 سم - إذا كان ∠A = 50°، ∠B = 60°، فأوجد ∠D، ∠E، ∠F.
ج: ∠D = 50°، ∠E = 60°، ∠F = 70°
إذا كان مربع ABCD يطابق مربع EFGH، وAB = 8 سم، فأوجد EF = 8 سم
الدرس السادس: التماثل
الفكرة الرئيسية: دراسة التماثل حول محور والتماثل الدوراني حول نقطة.
التماثل
الشكل متماثل حول محور إذا كان طي الشكل على هذا المحور يطابق جزئيه.
الشكل متماثل دورانيًا إذا كان الشكل يدور حول نقطة مركزية ويطابق نفسه قبل الدوران.
- رتبة التماثل الدوراني = عدد المرات التي يطابق فيها الشكل نفسه خلال دورة كاملة (360°)
- زاوية التماثل الدوراني = 360° ÷ رتبة التماثل
- شعار المملكة العربية السعودية (سيفان متقاطعان ونخلة) ← متماثل حول محور عمودي
- ورقة الشجر ← غالباً متماثلة حول محور
- المربع ← رتبة تماثل دوراني = 4، زاوية = 90°
1. كم عدد محاور التماثل في المستطيل؟ 2 محاور
2. كم عدد محاور التماثل في الدائرة؟ عدد لا نهائي
3. رتبة التماثل الدوراني للمثلث متساوي الأضلاع = 3
الدرس السابع: الانعكاس
الفكرة الرئيسية: رسم صورة شكل هندسي بالانعكاس حول محور في المستوى الإحداثي.
الانعكاس
- الانعكاس حول محور السينات (x-axis): (س، ص) → (س، -ص)
- الانعكاس حول محور الصادات (y-axis): (س، ص) → (-س، ص)
- الانعكاس حول المستقيم y = x: (س، ص) → (ص، س)
- الانعكاس حول المستقيم y = -x: (س، ص) → (-ص، -س)
- إذا كانت النقطة أ = (3, 5)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول محور السينات.
ج: (3, -5) - إذا كانت النقطة ب = (-2, 4)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول محور الصادات.
ج: (2, 4) - إذا كانت النقطة ج = (4, 2)، فأوجد صورتها بعد انعكاس حول المستقيم y = x.
ج: (2, 4)
ارسم المثلث الذي رؤوسه أ(1,2)، ب(3,4)، ج(5,1) ثم أرسم صورته بعد انعكاس حول محور الصادات.
ج: أ'(-1,2)، ب'(-3,4)، ج'(-5,1)
الدرس الثامن: الانسحاب
الفكرة الرئيسية: رسم صورة شكل هندسي ناتجة عن إزاحته (انسحابه) في المستوى الإحداثي.
الانسحاب
هو إزاحة جميع نقاط الشكل بمقدار ثابت في اتجاه معين.
الصيغة: (س، ص) → (س + أ، ص + ب)
حيث أ هو مقدار الانسحاب أفقيًا، ب هو مقدار الانسحاب عموديًا.
- إذا انسحبت النقطة (2, 3) بمقدار 4 وحدات لليمين و2 وحدة للأعلى، فأوجد صورتها.
ج: (2+4, 3+2) = (6, 5) - إذا انسحبت النقطة (-1, 5) بمقدار 3 وحدات لليسار و4 وحدات لأسفل، فأوجد صورتها.
ج: (-1-3, 5-4) = (-4, 1)
ارسم المربع الذي رؤوسه أ(1,1)، ب(3,1)، ج(3,3)، د(1,3) ثم أرسم صورته بعد انسحاب بمقدار 2 وحدات لليمين و1 وحدة للأعلى.
ج: أ'(3,2)، ب'(5,2)، ج'(5,4)، د'(3,4)
انسحب المثلث أ(0,0)، ب(2,0)، ج(1,3) بمقدار 3 وحدات لليمين ووحدتين للأعلى. أوجد الإحداثيات الجديدة.
ج: أ'(3,2)، ب'(5,2)، ج'(4,5)
دليل الدراسة والمراجعة – ملخص القوانين
| المفهوم | القاعدة | مثال |
|---|---|---|
| مجموع الزوايا الداخلية للمضلع | (ن – 2) × 180° | خماسي: 540° |
| الزاوية الداخلية للمضلع المنتظم | [(ن – 2) × 180] ÷ ن | سداسي: 120° |
| الانعكاس حول محور السينات | (س، ص) → (س، -ص) | (3,4) → (3,-4) |
| الانعكاس حول محور الصادات | (س، ص) → (-س، ص) | (3,4) → (-3,4) |
| الانسحاب | (س، ص) → (س+أ، ص+ب) | (2,3) ← (4,5) |
اختبار الفصل والاختبار التراكمي
س1: زاويتان متكاملتان، إحداهما تساوي 3س، والأخرى تساوي 2س + 20، فجد س.
ج: 3س + (2س + 20) = 180 ← 5س + 20 = 180 ← 5س = 160 ← س = 32°
س2: في مستقيمين متوازيين، زاوية قياسها 4س – 10، والزاوية المتناظرة لها 2س + 30، فجد س.
ج: 4س – 10 = 2س + 30 ← 2س = 40 ← س = 20°
س3: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع السباعي (ن = 7).
ج: (7-2) × 180 = 5 × 180 = 900°
س4: إذا كان المثلثان ABC و DEF متطابقين، وAB = 6 سم، BC = 8 سم، AC = 10 سم، فأوجد DE.
ج: DE = AB = 6 سم
س5: أنعكس النقطة (4, -2) حول محور الصادات.
ج: (-4, -2)
س6: انسحب النقطة (5, 3) بمقدار 2 وحدات لليسار ووحدة واحدة لأسفل.
ج: (3, 2)
س7: مسألة مهارات تفكير عليا (تبرير): قال طالب أن المربع متماثل دورانيًا برتبة 4. هل هذا صحيح؟
ج: نعم، لأن المربع يطابق نفسه 4 مرات خلال دورة كاملة (0°, 90°, 180°, 270°).
134 تعليق على الفصل الخامس الهندسة والاستدلال