حل الفصل الثالث رياضيات ثالث متوسط

الصيغة العامة للمستقيم:

• m: ميل المستقيم (Slope)
• b: المقطع الصادي (y-intercept) وهو النقطة (0, b)

أمثلة على كتابة المعادلة بصيغة الميل والمقطع:

• ميله 3 ومقطعه الصادي -2 ← y = 3x – 2
• ميله -4 ومقطعه الصادي 5 ← y = -4x + 5
• ميله 1 ومقطعه الصادي 0 ← y = x
• ميله 0 ومقطعه الصادي 7 ← y = 7

إيجاد الميل والمقطع من معادلة:

• y = 2x + 5 → الميل = 2، المقطع الصادي = 5
• y = -3x – 4 → الميل = -3، المقطع الصادي = -4
• y = x + 1 → الميل = 1، المقطع الصادي = 1
• y = 6 → الميل = 0، المقطع الصادي = 6

تمرين (كتابة المعادلة):
1. ميله 5 ومقطعه الصادي 2 ← y = 5x + 2
2. ميله -2 ومقطعه الصادي 8 ← y = -2x + 8
3. ميله 1/2 ومقطعه الصادي -3 ← y = (1/2)x – 3
4. ميله 0 ومقطعه الصادي 4 ← y = 4

الصيغة العامة:

• m: ميل المستقيم
• (x₁, y₁): نقطة تقع على المستقيم

أمثلة على كتابة المعادلة بصيغة الميل ونقطة:

• الميل = 3، والنقطة (2, 5) → y – 5 = 3(x – 2)
• الميل = -2، والنقطة (-1, 4) → y – 4 = -2(x + 1)
• الميل = 1/2، والنقطة (4, 3) → y – 3 = (1/2)(x – 4)

تحويل صيغة الميل ونقطة إلى صيغة الميل والمقطع:
مثال: y – 5 = 3(x – 2)
y – 5 = 3x – 6 ← y = 3x – 1

تمرين: اكتب المعادلة في صيغة الميل ونقطة، ثم حولها إلى صيغة الميل والمقطع:
1. الميل = 4، والنقطة (1, 3)
ج: y – 3 = 4(x – 1) ← y = 4x – 1

2. الميل = -5، والنقطة (-2, 1)
ج: y – 1 = -5(x + 2) ← y = -5x – 9

3. الميل = 2، والنقطة (0, -3)
ج: y + 3 = 2(x – 0) ← y = 2x – 3

المستقيمات المتوازية (Parallel Lines):

• لها نفس الميل (m₁ = m₂)
• لا تتقاطع أبداً

المستقيمات المتعامدة (Perpendicular Lines):

• حاصل ضرب ميليهما يساوي -1 (m₁ × m₂ = -1)
• ميل المستقيم العمودي هو المقلوب السالب (Negative Reciprocal)
• إذا كان ميل مستقيم = أ/ب، فإن ميل المستقيم العمودي عليه = -ب/أ

أمثلة على ميل المستقيم الموازي:

• y = 5x + 1 → الميل الموازي = 5
• y = -2x + 3 → الميل الموازي = -2
• y = (3/4)x – 5 → الميل الموازي = 3/4

أمثلة على ميل المستقيم العمودي:

• إذا كان ميل مستقيم = 2، فإن ميل العمودي عليه = -1/2
• إذا كان ميل مستقيم = -3، فإن ميل العمودي عليه = 1/3
• إذا كان ميل مستقيم = 1/2، فإن ميل العمودي عليه = -2
• إذا كان ميل مستقيم = -4/5، فإن ميل العمودي عليه = 5/4

تمرين (تحديد العلاقة بين مستقيمين):
1. y = 3x + 2 و y = 3x – 5
ج: متوازيان (لأن الميلين متساويان)

2. y = 2x + 1 و y = -1/2 x + 4
ج: متعامدان (لأن 2 × -1/2 = -1)

3. y = 4x – 3 و y = -4x + 2
ج: غير متوازيان ولا متعامدان

✅ نموذج الإجابات:

س1: اكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع.
أ) الميل = 3، المقطع الصادي = -2 → y = 3x – 2
ب) الميل = -4، المقطع الصادي = 7 → y = -4x + 7
ج) الميل = 0، المقطع الصادي = 5 → y = 5

س2: اكتب المعادلة بصيغة الميل ونقطة ثم حولها إلى صيغة الميل والمقطع.
أ) الميل = 2، النقطة (3, 1) → y – 1 = 2(x – 3) ← y = 2x – 5
ب) الميل = -1، النقطة (-2, 4) → y – 4 = -1(x + 2) ← y = -x + 2
ج) الميل = 3/2، النقطة (4, -1) → y + 1 = (3/2)(x – 4) ← y = (3/2)x – 7

س3: أوجد ميل المستقيم الموازي للمستقيم المعطى.
أ) y = 5x + 1 → م = 5
ب) y = -2x – 3 → م = -2
ج) y = (3/4)x + 2 → م = 3/4

س4: إذا كان ميل مستقيم هو 2/3، فما ميل المستقيم العمودي عليه؟
ج: -3/2

س5: إذا كان ميل مستقيم هو -5، فما ميل المستقيم العمودي عليه؟
ج: 1/5

✅ نموذج الإجابات:

س1: اكتب معادلة المستقيم الذي ميله 4 ومقطعه الصادي -3.
ج: y = 4x – 3

س2: اكتب المعادلة y – 2 = 5(x – 1) في صيغة الميل والمقطع.
ج: y = 5x – 3

س3: ما ميل المستقيم الموازي للمستقيم y = -3x + 7؟
ج: -3

س4: إذا كان ميل مستقيم هو 4، فما ميل المستقيم العمودي عليه؟
ج: -1/4

✅ نموذج الإجابات:

س1: اكتب معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويمر بالنقطة (3, 5).
ج: y – 5 = 2(x – 3) ← y = 2x – 1

س2: أوجد ميل المستقيم الموازي للمستقيم y = 7x – 4.
ج: 7

س3: أوجد ميل المستقيم العمودي على المستقيم y = -1/3 x + 5.
ج: 3

س4: حدد ما إذا كان المستقيمان y = 2x + 1 و y = -1/2 x + 3 متوازيان، متعامدان، أم لا.
ج: متعامدان (لأن 2 × -1/2 = -1)

س5: اكتب معادلة المستقيم الذي ميله -2 ومقطعه الصادي 4.
ج: y = -2x + 4